京都大学 2022年度理系数学第6問解答・解説

問題

数列 ${x_{n}}$ ， ${y_{n}}$ を次の式

x_{1} = 0, x_{n + 1} = x_{n} + n + 2 cos (\frac{2 π x _{n}}{3}) (n = 1, 2, 3, \dots),

y_{3 m + 1} = 3 m, y_{3 m + 2} = 3 m + 2, y_{3 m + 3} = 3 m + 4 (m = 0, 1, 2, \dots)

により定める．このとき，数列 ${x_{n} - y_{n}}$ の一般項を求めよ．

出典：京都大学 2022年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

解法1

まず実験的に $x_{n} - y_{n}$ が $0, 1, 3, 6, \dots$ となることを見て、 $n (n - 1) /2$ を予想する。そこで $z_{n} = y_{n} + n (n - 1) /2$ とおき、 $z_{1} = x_{1}$ かつ $z_{n}$ が $x_{n}$ と同じ漸化式を満たすことを示す。 $y_{n + 1} - y_{n}$ は $n (mod 3)$ で $2, 2, - 1$ と周期的に変わる。また $z_{n} (mod 3)$ も $0, 0, 1$ と周期的なので、 $2 cos (2 π z_{n} /3)$ が同じ $2, 2, - 1$ になることを確認する。

解法2

$x_{n}$ 自体を3項ずつ明示する式を予想し、 $m$ について帰納法で証明する。各ブロックで $x_{n} mod 3$ が $0, 0, 1$ となるため余弦項が $2, 2, - 1$ と決まり、次のブロックへ閉じる。最後に定義済みの $y_{n}$ を引く。

解答

解法1

求める一般項は $x_{n} - y_{n} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ であることを示す。

そこで $z_{n} = y_{n} + \frac{n ( n - 1 )}{2}$ とおく。 $y_{1} = 0$ であるから $z_{1} = 0 = x_{1}$ である。あとは $z_{n}$ が $x_{n}$ と同じ漸化式を満たすことを示せばよい。

まず $y_{n}$ の差を調べる。定義より $y_{3 m + 1} = 3 m, y_{3 m + 2} = 3 m + 2, y_{3 m + 3} = 3 m + 4$ であるから

y_{n + 1} - y_{n} = {2 - 1 (n \equiv 1, 2 (mod 3)), (n \equiv 0 (mod 3))

である。

次に $z_{n}$ を3で割った余りを調べる。 $n = 3 m + 1, 3 m + 2, 3 m + 3$ の場合に分けると、 $z_{3 m + 1} = 3 m + \frac{3 m ( 3 m + 1 )}{2} \equiv 0 (mod 3),$ $z_{3 m + 2} = 3 m + 2 + \frac{( 3 m + 1 ) ( 3 m + 2 )}{2} \equiv 0 (mod 3),$ $z_{3 m + 3} = 3 m + 4 + \frac{( 3 m + 2 ) ( 3 m + 3 )}{2} \equiv 1 (mod 3)$ である。したがって

2 cos \frac{2 π z _{n}}{3} = {2 - 1 (n \equiv 1, 2 (mod 3)), (n \equiv 0 (mod 3))

である。

一方、 $z_{n}$ の差は

z_{n + 1} - z_{n} = (y_{n + 1} - y_{n}) + \frac{( n + 1 ) n - n ( n - 1 )}{2} = (y_{n + 1} - y_{n}) + n .

上で見た場合分けより $y_{n + 1} - y_{n} = 2 cos \frac{2 π z _{n}}{3}$ であるから $z_{n + 1} = z_{n} + n + 2 cos \frac{2 π z _{n}}{3}$ となる。

これは $x_{n}$ の漸化式 $x_{n + 1} = x_{n} + n + 2 cos (\frac{2 π x _{n}}{3})$ と同じ形であり、初項も $z_{1} = x_{1} = 0$ と等しい。したがって帰納法により $x_{n} = z_{n}$ である。よって $x_{n} - y_{n} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ である。

解法2

次の3式を $m ≧ 0$ について示す。

x_{3 m + 1} x_{3 m + 2} x_{3 m + 3} = \frac{9}{2} m (m + 1), = \frac{9 m ^{2} + 15 m + 6}{2}, = \frac{9 m ^{2} + 21 m + 14}{2} . (1)

$m = 0$ では

x_{1} = 0, x_{2} = 0 + 1 + 2 = 3, x_{3} = 3 + 2 + 2 = 7

だから(1)は成り立つ。

$x_{3 m + 1}$ は3の倍数なので余弦項は2であり、

x_{3 m + 2} = x_{3 m + 1} + (3 m + 1) + 2 = \frac{9 m ^{2} + 15 m + 6}{2} .

この数も3の倍数なので、再び余弦項は2である。よって

x_{3 m + 3} = x_{3 m + 2} + (3 m + 2) + 2 = \frac{9 m ^{2} + 21 m + 14}{2} .

一方 $x_{3 m + 3} \equiv 1 (mod 3)$ なので余弦項は

2 cos \frac{2 π}{3} = - 1

である。したがって

x_{3 m + 4} = x_{3 m + 3} + (3 m + 3) - 1 = \frac{9}{2} (m + 1) (m + 2) .

これは次のブロックの第1式であるから、数学的帰納法により(1)がすべての $m ≧ 0$ で成り立つ。

定義された $y_{n}$ を引くと

x_{3 m + 1} - y_{3 m + 1} = \frac{3 m ( 3 m + 1 )}{2},

x_{3 m + 2} - y_{3 m + 2} = \frac{( 3 m + 1 ) ( 3 m + 2 )}{2},

x_{3 m + 3} - y_{3 m + 3} = \frac{( 3 m + 2 ) ( 3 m + 3 )}{2} .

いずれも $n (n - 1) /2$ に等しい。したがって

x_{n} - y_{n} = \frac{n ( n - 1 )}{2}

である。

京都大学 2022年度理系数学 第6問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

解法2

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