京都大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

求める一般項は $$x_n-y_n=\frac{n(n-1)}{2}$$ であることを示す。

そこで $$z_n=y_n+\frac{n(n-1)}{2}$$ とおく。$y_1=0$ であるから $z_1=0=x_1$ である。あとは $z_n$ が $x_n$ と同じ漸化式を満たすことを示せばよい。

まず $y_n$ の差を調べる。定義より $$y_{3m+1}=3m,y_{3m+2}=3m+2,y_{3m+3}=3m+4$$ であるから$$y_{n+1}-y_n=\{\begin{array}{ll}2& (n\equiv 1,2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)),\\ -1& (n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3))\end{array}$$である。

次に $z_n$ を3で割った余りを調べる。$n=3m+1,3m+2,3m+3$ の場合に分けると、$$z_{3m+1}=3m+\frac{3m(3m+1)}{2}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3),$$ $$z_{3m+2}=3m+2+\frac{(3m+1)(3m+2)}{2}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3),$$ $$z_{3m+3}=3m+4+\frac{(3m+2)(3m+3)}{2}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$ である。したがって$$2\cos \frac{2\pi z_n}{3}=\{\begin{array}{ll}2& (n\equiv 1,2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)),\\ -1& (n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3))\end{array}$$である。

一方、$z_n$ の差は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle z_{n+1}-z_n}& {\displaystyle =(y_{n+1}-y_n)+\frac{(n+1)n-n(n-1)}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(y_{n+1}-y_n)+n\mathrm{.}}\end{array}$$上で見た場合分けより $$y_{n+1}-y_n=2\cos \frac{2\pi z_n}{3}$$ であるから $$z_{n+1}=z_n+n+2\cos \frac{2\pi z_n}{3}$$ となる。

これは $x_n$ の漸化式 $$x_{n+1}=x_n+n+2\cos \left(\frac{2\pi x_n}{3}\right)$$ と同じ形であり、初項も $z_1=x_1=0$ と等しい。したがって帰納法により $x_n=z_n$ である。よって $$x_n-y_n=\frac{n(n-1)}{2}$$ である。

$x_n$ 自体を3項ずつ明示する式を予想し、$m$ について帰納法で証明する。各ブロックで $x_n<mrow><mi\; mathvariant="normal">m</mi><mi\; mathvariant="normal">o</mi><mi\; mathvariant="normal">d</mi></mrow>3$ が $0,0,1$ となるため余弦項が $2,2,-1$ と決まり、次のブロックへ閉じる。最後に定義済みの $y_n$ を引く。

次の3式を $m\geqq 0$ について示す。$$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{rl}{\displaystyle x_{3m+1}}& {\displaystyle =\frac{9}{2}m(m+1),}\\ {\displaystyle x_{3m+2}}& {\displaystyle =\frac{9m^2+15m+6}{2},}\\ {\displaystyle x_{3m+3}}& {\displaystyle =\frac{9m^2+21m+14}{2}\mathrm{.}}\end{array}& & \text{(1)}\end{array}$$$m=0$ では$$x_1=0,x_2=0+1+2=3,x_3=3+2+2=7$$だから(1)は成り立つ。

$x_{3m+1}$ は3の倍数なので余弦項は2であり、$$x_{3m+2}=x_{3m+1}+(3m+1)+2=\frac{9m^2+15m+6}{2}\mathrm{.}$$この数も3の倍数なので、再び余弦項は2である。よって$$x_{3m+3}=x_{3m+2}+(3m+2)+2=\frac{9m^2+21m+14}{2}\mathrm{.}$$一方 $x_{3m+3}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ なので余弦項は$$2\cos \frac{2\pi }{3}=-1$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x_{3m+4}}& {\displaystyle =x_{3m+3}+(3m+3)-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{9}{2}(m+1)(m+2)\mathrm{.}}\end{array}$$これは次のブロックの第1式であるから、数学的帰納法により(1)がすべての $m\geqq 0$ で成り立つ。

定義された $y_n$ を引くと$$x_{3m+1}-y_{3m+1}=\frac{3m(3m+1)}{2},$$$$x_{3m+2}-y_{3m+2}=\frac{(3m+1)(3m+2)}{2},$$$$x_{3m+3}-y_{3m+3}=\frac{(3m+2)(3m+3)}{2}\mathrm{.}$$いずれも $n(n-1)\mathrm{/}2$ に等しい。したがって$$x_n-y_n=\frac{n(n-1)}{2}$$である。