京都大学 2023年度 前期日程 一般選抜文系数学 第4問

$n\geqq 2$ とする。定義より $a_n=S_n-S_{n-1}$ であるから，条件式は $$S_n-S_{n-1}=\frac{S_n}{n}+(n-1)2^n$$ となる。$S_n$ を含む項を左辺へ集めると $$S_n-\frac{S_n}{n}=S_{n-1}+(n-1)2^n$$ であり，$$\frac{n-1}{n}{S}_n=S_{n-1}+(n-1)2^n$$ となる。両辺を $n-1$ で割って $$\frac{S_n}{n}=\frac{S_{n-1}}{n-1}+2^n$$ を得る。

ここで $$b_n=\frac{S_n}{n}$$ とおく。$S_1=a_1=3$ なので $b_1=3$ であり，上の式から $$b_n=b_{n-1}+2^n(n\geqq 2)$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_n}& {\displaystyle =3+\sum _{k=2}^n{2}^k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3+(2^{n+1}-4)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2^{n+1}-1}\end{array}$$である。

よって $S_n=n(2^{n+1}-1)$ である。$n\geqq 2$ では$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle =S_n-S_{n-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =n(2^{n+1}-1)-(n-1)(2^n-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\{2n-(n-1)\}{2}^n-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n+1)2^n-1}\end{array}$$である。この式は $n=1$ のときも $(1+1)2^1-1=3=a_1$ を満たす。したがって $$a_n=(n+1)2^n-1(n=1,2,3,\dots )$$ である。

条件式を $n$ 倍し，$S_n=S_{n-1}+a_n$ を代入して $a_n$ を $S_{n-1}$ で表す。さらに添字 $n-1$ の条件式から $S_{n-1}$ を消去すると，$a_n-a_{n-1}$ が直接求まる。得られた階差が候補 $(n+1)2^n-1$ の階差と一致することを使って帰納的に結論する。

$n\geqq 2$ とする。条件式を $n$ 倍し，$S_n=S_{n-1}+a_n$ を用いると$$n{a}_n=S_{n-1}+a_n+n(n-1)2^n$$である。よって$$\begin{array}{cccc}& a_n=\frac{S_{n-1}}{n-1}+n{2}^n\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$一方，添字 $n-1$ の条件式は$$a_{n-1}=\frac{S_{n-1}}{n-1}+(n-2)2^{n-1}$$である。これと (1) から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n-a_{n-1}}& {\displaystyle =n{2}^n-(n-2)2^{n-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n+2)2^{n-1}}\end{array}$$を得る。

ここで $A_n=(n+1)2^n-1$ とおくと$$A_n-A_{n-1}=(n+1)2^n-n{2}^{n-1}=(n+2)2^{n-1}$$である。また $A_1=2\cdot 2-1=3=a_1$ である。したがって $a_n$ と $A_n$ は初項とすべての階差が一致するので$$a_n=(n+1)2^n-1(n=1,2,3,\dots )$$である。