京都大学 2023年度
文系数学 第4問

解答

解法1（標準解法）

$n\geqq 2$ とする。定義より $a_n=S_n-S_{n-1}$ であるから，条件式は $S_n-S_{n-1}=\frac{S_n}{n}+(n-1)2^n$ となる。$S_n$ を含む項を左辺へ集めると $S_n-\frac{S_n}{n}=S_{n-1}+(n-1)2^n$ であり，$\frac{n-1}{n}{S}_n=S_{n-1}+(n-1)2^n$ となる。両辺を $n-1$ で割って $\frac{S_n}{n}=\frac{S_{n-1}}{n-1}+2^n$ を得る。

ここで $b_n=\frac{S_n}{n}$ とおく。$S_1=a_1=3$ なので $b_1=3$ であり，上の式から $b_n=b_{n-1}+2^n(n\geqq 2)$ である。したがって

である。

よって $S_n=n(2^{n+1}-1)$ である。$n\geqq 2$ では

である。この式は $n=1$ のときも $(1+1)2^1-1=3=a_1$ を満たす。したがって $a_n=(n+1)2^n-1(n=1,2,3,\dots )$ である。

解法2（一般項の階差を直接求める方法）

$n\geqq 2$ とする。条件式を $n$ 倍し，$S_n=S_{n-1}+a_n$ を用いると

である。よって

一方，添字 $n-1$ の条件式は

である。これと (1) から

を得る。

ここで $A_n=(n+1)2^n-1$ とおくと

である。また $A_1=2\cdot 2-1=3=a_1$ である。したがって $a_n$ と $A_n$ は初項とすべての階差が一致するので

である。