京都大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$$h(x)=x\log \frac{a}{x}$$ とおく。$0<x<1$，$a>1$ であるから $$\frac{a}{x}>1$$ であり，$h(x)>0$ である。また $$f(x)=\frac{1}{h(x{)}^2}$$ である。

まず $h(x)$ の増減を調べる。微分すると $$h^{\mathrm{\prime }}(x)=\log \frac{a}{x}-1$$ である。また，問題文で与えられた極限を用いると $$\underset{x\to +0}{\lim }h(x)=\underset{x\to +0}{\lim }x(\log a-\log x)=0$$ である。さらに $$\underset{x\to 1-0}{\lim }h(x)=\log a$$ である。 $a\geqq e$ のとき，$0<x<1$ では $$\log \frac{a}{x}>\log a\geqq 1$$ である。したがって $h^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ であり，$h(x)$ は単調増加する。このとき $f(x)=1\mathrm{/}h(x{)}^2$ は単調減少するので，水平線 $y=k$ との共有点がちょうど2個になることはない。

次に $1<a<e$ とする。このとき $h^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ となるのは $$\log \frac{a}{x}=1$$ すなわち $$x=\frac{a}{e}$$ である。$1<a<e$ より $0<a\mathrm{/}e<1$ である。$h^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ となるのは $0<x<a\mathrm{/}e$，$h^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ となるのは $a\mathrm{/}e<x<1$ なので，$h(x)$ は $x=a\mathrm{/}e$ で最大値をとる。その最大値は $$h\left(\frac{a}{e}\right)=\frac{a}{e}\log e=\frac{a}{e}$$ である。

また $$0<\log a<\frac{a}{e}$$ である。実際，$u(a)=a\mathrm{/}e-\log a$ とおくと，$1<a<e$ で $$u^{\mathrm{\prime }}(a)=\frac{1}{e}-\frac{1}{a}<0$$ であり，$u(e)=0$ だから $u(a)>0$ である。 $y=f(x)$ と $y=k$ が共有点を持つには，まず $k>0$ が必要である。そのとき $f(x)=k$ は $$h(x)=\frac{1}{\sqrt{k}}$$ と同値である。$1<a<e$ の場合，$h(x)=c$ が $0<x<1$ にちょうど2つの解をもつのは，水平線 $y=c$ が右端の極限値 $\log a$ より上，最大値 $a\mathrm{/}e$ より下にあるときである。すなわち $$\log a<c<\frac{a}{e}$$ である。ここで $$c=1\mathrm{/}\sqrt{k}$$ とおくと $$\log a<\frac{1}{\sqrt{k}}<\frac{a}{e}$$ である。これを $k$ について解くと $$\frac{e^2}{a^2}<k<\frac{1}{(\log a{)}^2}$$ である。

したがって，求める実数の組 $(a,k)$ の集合は $$1<a<e,\frac{e^2}{a^2}<k<\frac{1}{(\log a{)}^2}$$ である。座標平面では，$a$ 軸を横軸，$k$ 軸を縦軸として，$1<a<e$ の範囲で2つの曲線 $$k=\frac{e^2}{a^2},k=\frac{1}{(\log a{)}^2}$$ の間の開いた領域を図示すればよい。

境界はいずれも含まれないので破線で描く。求める領域は次の網掛け部分である。

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