九州大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

$(1)$ 三つの変換の行列は順に$$tE,\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)$$である。作用する順に右から掛けるので$$T=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)tE=\left(\begin{array}{cc}0& t\\ -t& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$$(2)$$$E+T=\left(\begin{array}{cc}1& t\\ -t& 1\end{array}\right),(E+T{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{1+t^2}}\left(\begin{array}{cc}1& -t\\ t& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$したがって$$(E-T)(E+T{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{1+t^2}}\left(\begin{array}{cc}1-t^2& -2t\\ 2t& 1-t^2\end{array}\right)\mathrm{.}$$$(3)$ (2)の行列を $B$ とし、$P=(x,y)$、$Q=(u,v)$ とする。このとき$$u={\displaystyle \frac{(1-t^2)x-2ty}{1+t^2}},v={\displaystyle \frac{2tx+(1-t^2)y}{1+t^2}}\mathrm{.}$$展開すると交差項が消えて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle u^2+v^2}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\{(1-t^2{)}^2+4t^2\}(x^2+y^2)}{(1+t^2{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^2+y^2\mathrm{.}}\end{array}$$よって $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OQ}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}\mathrm{\mid }$$ である。

(1) は点の座標を変換ごとに直接追う。(2)の行列の成分を $c,s$ と置き、$c^2+s^2=1$ から回転行列であることを見抜いて距離保存を示す。

$(1)$ 点 $(x,y)$ は三つの変換によって$$(x,y)⟼(tx,ty)⟼(tx,-ty)⟼(ty,-tx)$$と移る。したがって$$T=\left(\begin{array}{cc}0& t\\ -t& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$$(2)$ $E+T$ の逆行列を求めて掛ければ$$(E-T)(E+T{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{1+t^2}}\left(\begin{array}{cc}1-t^2& -2t\\ 2t& 1-t^2\end{array}\right)\mathrm{.}$$$(3)$ ここで$$c={\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}},s={\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}}$$とおく。直接計算すると$$c^2+s^2=1.$$したがって、ある角 $\theta$ によって $c=\cos \theta$、$s=\sin \theta$ と表せる。(2)の行列は$$\left(\begin{array}{cc}c& -s\\ s& c\end{array}\right)$$となり、原点を中心とする回転を表す。回転は原点からの距離を変えないから$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\overrightarrow{OQ}\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$