九州大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

$(1)$$${\displaystyle \frac{1}{n^3-n}}={\displaystyle \frac{1}{2(n-1)}}-{\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{2(n+1)}}\mathrm{.}$$したがって$$\sum _{n=2}^{k+1}{\displaystyle \frac{1}{n^3-n}}={\displaystyle \frac{k(k+3)}{4(k+1)(k+2)}}\mathrm{.}$$確率の総和が1であることから$$a={\displaystyle \frac{4(k+1)(k+2)}{k(k+3)}}\mathrm{.}$$$(2)$$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(X)}& {\displaystyle =a\sum _{n=2}^{k+1}{\displaystyle \frac{1}{n^2-1}},}\\ {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{n^2-1}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{n-1}}-{\displaystyle \frac{1}{n+1}})\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$\sum _{n=2}^{k+1}{\displaystyle \frac{1}{n^2-1}}={\displaystyle \frac{k(3k+5)}{4(k+1)(k+2)}}$$であり$$E(X)={\displaystyle \frac{3k+5}{k+3}}\mathrm{.}$$$(3)$$$E(Y)=4E(X)-\log k=12-{\displaystyle \frac{16}{k+3}}-\log k\mathrm{.}$$右辺を $F(k)$ とし、$k>0$ の実数で微分すると$$F^{\mathrm{\prime }}(k)={\displaystyle \frac{16}{(k+3{)}^2}}-{\displaystyle \frac{1}{k}}=-{\displaystyle \frac{(k-1)(k-9)}{k(k+3{)}^2}}\mathrm{.}$$したがって $1<k<9$ で増加し、$k>9$ で減少する。よって最大にする自然数は$$k=9.$$

和を前後の項の差へ直して端の項だけを残す。(3)は隣り合う自然数での期待値の差をとり、対数を定積分として上下から評価する。

$(1)$ 恒等式$${\displaystyle \frac{1}{n^3-n}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\{{\displaystyle \frac{1}{n(n-1)}}-{\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}\}$$を用いて和を取る。各分数をさらに前後の項の差に直して整理すると$$\sum _{n=2}^{k+1}{\displaystyle \frac{1}{n^3-n}}={\displaystyle \frac{k(k+3)}{4(k+1)(k+2)}}\mathrm{.}$$よって$$a={\displaystyle \frac{4(k+1)(k+2)}{k(k+3)}}\mathrm{.}$$$(2)$ 期待値では$$E(X)=a\sum _{n=2}^{k+1}{\displaystyle \frac{1}{(n-1)(n+1)}}\mathrm{.}$$前後2項の差として和を取り$$E(X)={\displaystyle \frac{3k+5}{k+3}}\mathrm{.}$$$(3)$ $F(k)=E(Y)$ とおけば$$F(k)=12-{\displaystyle \frac{16}{k+3}}-\log k$$であり$$F(k+1)-F(k)={\displaystyle \frac{16}{(k+3)(k+4)}}-\log (1+{\displaystyle \frac{1}{k}})\mathrm{.}$$ここで$$\log (1+{\displaystyle \frac{1}{k}})={\int }_k^{k+1}{\displaystyle \frac{dx}{x}}\mathrm{.}$$$1\mathrm{/}x$ のグラフと中点・台形の関係から$${\displaystyle \frac{2}{2k+1}}<\log (1+{\displaystyle \frac{1}{k}})<{\displaystyle \frac{2k+1}{2k(k+1)}}\mathrm{.}$$$2\leqq k\leqq 7$ では$$\log (1+{\displaystyle \frac{1}{k}})<{\displaystyle \frac{1}{k}}<{\displaystyle \frac{16}{(k+3)(k+4)}}\mathrm{.}$$$k=1,8$ も上の台形評価を代入すれば差は正である。したがって $F(1)<F(2)<\cdots <F(9)$ である。

一方、$k\geqq 9$ では$$\log (1+{\displaystyle \frac{1}{k}})>{\displaystyle \frac{2}{2k+1}}>{\displaystyle \frac{16}{(k+3)(k+4)}}$$だから $F(k+1)<F(k)$ である。よって最大にする自然数は$$k=9.$$