九州大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
点 $(x,y)$ を原点のまわりに ${45}^{\circ }$ 回転した点を $(X,Y)$ とすると $$X={\displaystyle \frac{x-y}{\sqrt{2}}},Y={\displaystyle \frac{x+y}{\sqrt{2}}}$$ である。したがって逆に $$x={\displaystyle \frac{X+Y}{\sqrt{2}}},y={\displaystyle \frac{Y-X}{\sqrt{2}}}$$ である。

これを $x^2+3y^2=2$ に代入すると$${\left({\displaystyle \frac{X+Y}{\sqrt{2}}}\right)}^2+3{\left({\displaystyle \frac{Y-X}{\sqrt{2}}}\right)}^2=2$$である。両辺を整理して $2X^2-2XY+2Y^2=2$ となるから、$X^2-XY+Y^2=1$ である。

(2)
この座標では、直線 $l:y=-x$ は $Y=0$ である。したがって、求める回転体は、だ円 $X^2-XY+Y^2=1$ のうち $Y\geqq 0$ の部分を $Y=0$ のまわりに回転してできる。

だ円の方程式を $Y$ について解くと $Y^2-XY+X^2-1=0$ であるから $$Y={\displaystyle \frac{X\pm \sqrt{4-3X^2}}{2}}$$ である。

上側の枝を $$Y_{+}={\displaystyle \frac{X+\sqrt{4-3X^2}}{2}}$$ 下側の枝を $$Y_{-}={\displaystyle \frac{X-\sqrt{4-3X^2}}{2}}$$ とする。$Y\geqq 0$ の部分は、$-1\leqq X\leqq 1$ では $0\leqq Y\leqq Y_{+}$、$1\leqq X\leqq 2\mathrm{/}\sqrt{3}$ では $Y_{-}\leqq Y\leqq Y_{+}$ である。

したがって体積は$$V=\pi {\int }_{-1}^1{Y}_{+}^{2}dX+\pi {\int }_1^{2\mathrm{/}\sqrt{3}}(Y_{+}^2-Y_{-}^2)dX$$である。

まず $$Y_{+}^2=1-{\displaystyle \frac{X^2}{2}}+{\displaystyle \frac{X\sqrt{4-3X^2}}{2}}$$ である。第3項は $[-1,1]$ で奇関数なので積分が $0$ になり、$${\int }_{-1}^1{Y}_{+}^{2}dX={\int }_{-1}^1(1-{\displaystyle \frac{X^2}{2}})dX={\displaystyle \frac{5}{3}}$$である。

次に $$Y_{+}^2-Y_{-}^2=(Y_{+}-Y_{-})(Y_{+}+Y_{-})=X\sqrt{4-3X^2}$$ である。よって$${\int }_1^{2\mathrm{/}\sqrt{3}}(Y_{+}^2-Y_{-}^2)dX={\int }_1^{2\mathrm{/}\sqrt{3}}X\sqrt{4-3X^2}dX$$である。$u=4-3X^2$ とおくと$$\int X\sqrt{4-3X^2}dX=-{\displaystyle \frac{1}{9}}(4-3X^2{)}^{3\mathrm{/}2}$$だから$${\int }_1^{2\mathrm{/}\sqrt{3}}X\sqrt{4-3X^2}dX={\displaystyle \frac{1}{9}}$$である。

したがって $$V=\pi ({\displaystyle \frac{5}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{9}})={\displaystyle \frac{16\pi }{9}}$$ である。

回転軸を $X$ 軸へ移すと、円板・円環または円筒殻で体積を積分できる

45度回転で軸を $X$ 軸へ移すところまでは同じである。
回転領域を水平な細長い長方形に分け、各部分が作る薄い円筒殻の
体積を積分する。固定した $Y$ での領域の横幅を二次方程式の2根から求める。

(1)
回転後の座標は$$X={\displaystyle \frac{x-y}{\sqrt{2}}},Y={\displaystyle \frac{x+y}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$逆変換を楕円へ代入すると$$X^2-XY+Y^2=1.$$(2)
回転軸は $Y=0$ になる。固定した $Y\geqq 0$ に対し$$X^2-YX+Y^2-1=0$$の2根の差、すなわち領域の横幅は$$\sqrt{4-3Y^2}\mathrm{.}$$また $0\leqq Y\leqq 2\mathrm{/}\sqrt{3}$ である。高さ $Y$ の薄い横長部分を
回転すると、半径 $Y$、高さ $\sqrt{4-3Y^2}$ の薄い円筒殻になる。
よって体積は$$V=2\pi {\int }_0^{2\mathrm{/}\sqrt{3}}Y\sqrt{4-3Y^2}dY\mathrm{.}$$$$\int Y\sqrt{4-3Y^2}dY=-{\displaystyle \frac{1}{9}}(4-3Y^2{)}^{3\mathrm{/}2}$$だから$$V=2\pi \cdot {\displaystyle \frac{8}{9}}={\displaystyle \frac{16\pi }{9}}\mathrm{.}$$