九大 1986年度理系数学第2問｜問題・解答・解説

方針

各点の $A$ からの距離は，辺の長さ1を往復する三角波になる。共通周期は2秒なので，まず $0 ≦ t < 2$ で $A P = A Q = A R$ を調べる。(2) の区間 $1 / 4 ≦ t ≦ 1 / 2$ では， $A P = t$ ， $A Q = 2 t$ ， $A R = 2 - 4 t$ と明確に書ける。正四面体では $A$ から出る任意の2辺のなす角が $60^{\circ}$ なので，距離の二乗を余弦定理で表し，二次関数として最大最小を調べる。

解答

(1) まず，各点の $A$ からの距離を考える。点 $P$ は速さ1で辺 $A B$ 上を往復するので， $A P$ は周期2秒の三角波である。点 $Q$ は速さ2なので周期1秒，点 $R$ は速さ4なので周期 $1 / 2$ 秒である。したがって3点全体の状態は2秒ごとに繰り返す。よって $0 ≦ t < 2$ で調べればよい。

この範囲を， $R$ が折り返す時刻に合わせて区切る。 $0 ≦ t ≦ 1 / 4$ では $A P = t, A Q = 2 t, A R = 4 t$ であるから，3つが等しいのは $t = 0$ だけである。 $1 / 4 ≦ t ≦ 1 / 2$ では $A P = t, A Q = 2 t, A R = 2 - 4 t$ である。このとき $A P = A Q$ は $t = 0$ を与えるだけなので，この区間には解はない。 $1 / 2 ≦ t ≦ 3 / 4$ では $A P = t, A Q = 2 - 2 t, A R = 4 t - 2$ である。 $A P = A Q$ より $t = 2 - 2 t, t = \frac{2}{3}$ であり，このとき $A R = 4 \cdot 2 / 3 - 2 = 2 / 3$ なので，実際に3つは等しい。 $3 / 4 ≦ t ≦ 1$ では $A P = t, A Q = 2 - 2 t, A R = 4 - 4 t$ であり， $A P = A Q$ からは $t = 2 / 3$ となるが，これはこの区間に入らない。したがって解はない。 $1 ≦ t < 2$ については， $2 - t$ 秒後の状態と対称に考えられる。したがって $t = 2 / 3$ に対応して $t = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ も解であり，これ以外はない。

よって周期2秒を考えると，求める時刻は $t = 2 m, 2 m + \frac{2}{3}, 2 m + \frac{4}{3} (m = 0, 1, 2, \dots)$ である。

(2) $1 / 4 ≦ t ≦ 1 / 2$ では，点 $P$ と $Q$ はまだ $A$ から遠ざかっており，点 $R$ は $D$ に着いてから戻っている。したがって $A P = t, A Q = 2 t, A R = 2 - 4 t$ である。

正四面体では， $A B, A C, A D$ のどの2辺のなす角も $60^{\circ}$ である。したがって， $A$ から同じ角 $60^{\circ}$ をなす2本の半直線上に，距離 $u, v$ の点があるとき，その2点間の距離の二乗は $u^{2} + v^{2} - 2 u v \cos 60^{\circ} = u^{2} + v^{2} - u v$ である。

よって $\begin{aligned} P Q^{2} & = t^{2} + (2 t)^{2} - t \cdot 2 t = 3 t^{2}, \\ Q R^{2} & = (2 t)^{2} + (2 - 4 t)^{2} - (2 t) (2 - 4 t), \\ R P^{2} & = (2 - 4 t)^{2} + t^{2} - (2 - 4 t) t \end{aligned}$ である。これらを足すと $P Q^{2} + Q R^{2} + R P^{2} = 52 t^{2} - 38 t + 8$ となる。

これは下に凸の二次関数であり，頂点は $t = \frac{38}{2 \cdot 52} = \frac{19}{52}$ である。この値は $1 / 4 ≦ t ≦ 1 / 2$ に含まれる。したがって最小値は $52 {(\frac{19}{52})}^{2} - 38 (\frac{19}{52}) + 8 = \frac{55}{52}$ である。

最大値は区間の端で調べればよい。端点では $t = \frac{1}{4} のとき 52 t^{2} - 38 t + 8 = \frac{7}{4}$ であり， $t = \frac{1}{2} のとき 52 t^{2} - 38 t + 8 = 2$ である。したがって $最大値 2, 最小値 \frac{55}{52}$ である。

別解

解法2（距離三角波の表と対称式）

方針

一周期を折返し時刻で表にし、等距離時刻を読む。距離平方和は三変数の対称式にまとめてから代入する。

解答

(1)
$u = A P, v = A Q, w = A R$ とする。 $0 ≦ t ≦ 1$ では $\begin{array}{cccc} t & u & v & w \\ 0 ≦ t ≦ 1 / 4 & t & 2 t & 4 t \\ 1 / 4 ≦ t ≦ 1 / 2 & t & 2 t & 2 - 4 t \\ 1 / 2 ≦ t ≦ 3 / 4 & t & 2 - 2 t & 4 t - 2 \\ 3 / 4 ≦ t ≦ 1 & t & 2 - 2 t & 4 - 4 t \end{array}$ である。三つが等しいのは $t = 0, 2 / 3$ だけである。運動は周期2で、 $1 ≦ t ≦ 2$ は $t \mapsto 2 - t$ で対称だから $t = 2 m, 2 m + \frac{2}{3}, 2 m + \frac{4}{3} (m = 0, 1, 2, \dots) .$ (2)
二本の辺のなす角は $60^{\circ}$ なので、三距離の平方和は $u^{2} + v^{2} + w^{2} + \frac{1}{2} {(u - v)^{2} + (v - w)^{2} + (w - u)^{2}} .$ 指定区間では $(u, v, w) = (t, 2 t, 2 - 4 t)$ だから $F (t) = 52 t^{2} - 38 t + 8.$ 頂点 $t = 19 / 52$ は区間内にあり $F (\frac{19}{52}) = \frac{55}{52} .$ 端点では $F (1 / 4) = 7 / 4$ 、 $F (1 / 2) = 2$ なので $最大値 2, 最小値 \frac{55}{52} .$

総評

難易度は7，計算量は7程度である。想定時間は25分から35分程度。往復運動は速さが違うため，各点の $A$ からの距離を三角波として管理するのが第一の山である。(2) は指定区間が狭いので，その区間内での距離式 $t, 2 t, 2 - 4 t$ を確定してから進めるとよい。正四面体の3本の辺のなす角がすべて $60^{\circ}$ であることを使い，距離の二乗を $u^{2} + v^{2} - u v$ と書くのが計算の中心である。頂点が区間内にあるか，最大値はどちらの端点かまで確認すること。解法2では三距離の対称恒等式を使い、三本の余弦定理を個別に展開しない。

出典: 九州大学 1986年度数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

九州大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

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