九州大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $$\overrightarrow{DA}=\vec{u},\overrightarrow{DB}=\vec{v},\overrightarrow{DC}=\vec{w}$$とおく。正四面体の一辺は1であり、三角形 $DAB$、$DBC$、$DCA$ はいずれも正三角形である。したがって$$\mathrm{\mid }\vec{u}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{w}\mathrm{\mid }=1,\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{v}\cdot \vec{w}=\vec{w}\cdot \vec{u}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。

点 $E$ は辺 $AB$ を $t:(1-t)$ に内分するので $$\overrightarrow{DE}=(1-t)\vec{u}+t\vec{v}$$ である。また点 $F$ は辺 $AC$ を $(1-t):t$ に内分するので $$\overrightarrow{DF}=t\vec{u}+(1-t)\vec{w}$$ である。よって$$\overrightarrow{e}=(1-t)\vec{u}+t\vec{v},\overrightarrow{f}=t\vec{u}+(1-t)\vec{w}$$である。

まず長さを計算する。 $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{e}{\mathrm{\mid }}^2=(1-t{)}^2+t^2+2t(1-t)\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}=1-t+t^2$$ である。同じ計算で $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{f}{\mathrm{\mid }}^2=1-t+t^2$$ となる。したがって $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{e}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\overrightarrow{f}\mathrm{\mid }=\sqrt{1-t+t^2}$$ である。

次に内積は$$\overrightarrow{e}\cdot \overrightarrow{f}=t(1-t)+(1-t{)}^2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+t^2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+t(1-t)\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。整理すると $$\overrightarrow{e}\cdot \overrightarrow{f}={\displaystyle \frac{1+t-t^2}{2}}$$ である。よって $$\overrightarrow{e}\cdot \overrightarrow{f}={\displaystyle \frac{1+t-t^2}{2}}$$ である。

(2) $(1)$ より$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{e}\cdot \overrightarrow{f}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{e}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{f}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{1+t-t^2}{2(1-t+t^2)}}$$である。これを $$h(t)={\displaystyle \frac{1+t-t^2}{2(1-t+t^2)}}$$ とおく。

微分すると $$h^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{1-2t}{(1-t+t^2{)}^2}}$$ である。分母は常に正なので、$0<t<1\mathrm{/}2$ で増加し、$1\mathrm{/}2<t<1$ で減少する。したがって最大値は $t=1\mathrm{/}2$ のときで$$h\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{1+{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}}{2(1-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}})}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$$である。

一方、$t$ は $0<t<1$ を動くので端点 $t=0,1$ は含まれない。$t\to 0+0$ または $t\to 1-0$ のとき $$h(t)\to {\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{1}{2}}<\cos \theta \leqq {\displaystyle \frac{5}{6}}$$ が求める範囲である。

正四面体を具体的な空間座標に置き、内分点を直接計算する。角の余弦は $u=t(1-t)$ だけの式に直し、$0<u\leqq 1\mathrm{/}4$ と単調性から範囲を決める。

(1)
次のように正四面体を置く。$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle D}& {\displaystyle =(0,0,0),}& {\displaystyle A}& {\displaystyle =(1,0,0),}\\ {\displaystyle B}& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},0),}& {\displaystyle C}& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}},\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}})\mathrm{.}}\end{array}$$どの2点間の距離も1である。内分公式から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E}& {\displaystyle =(1-t)A+tB,}\\ {\displaystyle F}& {\displaystyle =tA+(1-t)C\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $\overrightarrow{e}=E$、$\overrightarrow{f}=F$ として各成分を計算すれば$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{e}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\overrightarrow{f}{\mathrm{\mid }}^2=1-t+t^2,\overrightarrow{e}\cdot \overrightarrow{f}={\displaystyle \frac{1+t-t^2}{2}}\mathrm{.}$$よって$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{e}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\overrightarrow{f}\mathrm{\mid }=\sqrt{1-t+t^2}\mathrm{.}$$(2)
$u=t(1-t)$ と置くと、$0<t<1$ では$$0<u\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$$であり、等号は $t=1\mathrm{/}2$ のときに成り立つ。(1)の式は$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1+u}{2(1-u)}}$$となる。右辺は $u$ が大きいほど大きい。$u\to 0$ のとき $1\mathrm{/}2$ に近づくが $u=0$ は取らず、$u=1\mathrm{/}4$ のとき $5\mathrm{/}6$ である。したがって$${\displaystyle \frac{1}{2}}<\cos \theta \leqq {\displaystyle \frac{5}{6}}\mathrm{.}$$