九州大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

$x$ を一つ固定する。このとき $P(x,0,{\cos }^{2}x),Q(x,1-\sin x,0)$ は同じ平面 $x=$ 一定上にある。求める立体をこの平面で切ると，$y$ 軸方向の長さが $1-\sin x$ で，$z$ 軸方向の長さが ${\cos }^{2}x$ である直角三角形になる。

したがって，この断面の面積は ${\displaystyle \frac{1}{2}}(1-\sin x){\cos }^{2}x$ である。よって体積を $V$ とすると$$V={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}(1-\sin x){\cos }^{2}xdx$$である。

これを分けて計算する。$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\cos }^{2}xdx={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$であり，また $u=\cos x$ とおくと$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\sin x{\cos }^{2}xdx={[-{\displaystyle \frac{{\cos }^{3}x}{3}}]}_0^{\pi \mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$である。したがって$$V={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{\pi }{8}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}$$である。

断面が直角三角形であることから体積積分を立てる。被積分関数を $1,\sin x,{\sin }^{2}x,{\sin }^{3}x$ に展開して評価する。

固定した $x$ での断面は、二辺が$$1-\sin x,{\cos }^{2}x$$の直角三角形である。従って$$V={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}(1-\sin x){\cos }^{2}xdx\mathrm{.}$$${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$ を用いると$$(1-\sin x){\cos }^{2}x=1-\sin x-{\sin }^{2}x+{\sin }^{3}x\mathrm{.}$$ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}1dx}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{2}},}\\ {\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\sin xdx}& {\displaystyle =1,}\\ {\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{2}xdx}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{4}},}\\ {\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{3}xdx}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$V={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{\pi }{8}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}\mathrm{.}$$