九州大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $Q$ は直線 $OA$ 上の点であり、$$\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{OA}=0$$ を満たす。これは、$PQ$ が直線 $OA$ に垂直であることを表す。したがって $Q$ は、点 $P$ から直線 $OA$ に下ろした垂線の足である。 $Q$ と $A$ が一致するためには、$PA$ が直線 $OA$ に垂直であればよい。よって点 $P$ の描く図形は、点 $A$ を通り、直線 $OA$ に垂直な平面である。この平面上のどの点を取っても、直線 $OA$ への垂線の足は $A$ になる。

(2) $OA=L$ とおく。ただし $L>0$ である。座標を、$O=(0,0,0)$、$A=(L,0,0)$ となるように取る。点 $P$ を $P=(u,v,w)$ とおくと、直線 $OA$ は $x$ 軸であり、$Q$ は $P$ の $x$ 軸への正射影だから $Q=(u,0,0)$ である。

このとき$$\overrightarrow{OA}=(L,0,0),\overrightarrow{OQ}=(u,0,0),\overrightarrow{OP}=(u,v,w)$$である。したがって条件$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OP}$$は $Lu=u^2+v^2+w^2$ となる。平方完成すると $${(u-\frac{L}{2})}^2+v^2+w^2={\left(\frac{L}{2}\right)}^2$$ である。

よって点 $P$ は、中心が線分 $OA$ の中点、半径が $\frac{OA}{2}$ の球面上を動く。すなわち、線分 $OA$ を直径とする球面である。

座標を置かず、$OP=OQ+QP$ という直交分解を使う。(2)の条件を $OP\cdot AP=0$ と同値変形し、直角条件から直径 $OA$ の球面を得る。端点 $O,A$ も含むことを確認する。

(1)
$PQ\perp OA$ であるから、$Q$ は $P$ から直線 $OA$ へ下ろした垂線の足である。
$Q=A$ となるための必要十分条件は $PA\perp OA$ である。よって軌跡は
点 $A$ を通り直線 $OA$ に垂直な平面である。

(2)
直交分解$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QP},\overrightarrow{QP}\perp \overrightarrow{OA}$$を用いると$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{OA}\mathrm{.}$$したがって問題の条件は$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OP}$$と同値である。ここで$$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$$だから$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{AP}=\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}{\mathrm{\mid }}^2-\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA}=0.$$すなわち $OP\perp AP$ である。直角の頂点 $P$ の軌跡は、線分 $OA$ を直径とする球面である。
$P=O,A$ でも内積条件は成り立つので、両端点も含む。