九州大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $$g(x)=e^{-x}(\cos x-\sin x)$$ である。微分すると $$g^{\mathrm{\prime }}(x)=-e^{-x}(\cos x-\sin x)+e^{-x}(-\sin x-\cos x)=-2e^{-x}\cos x$$ である。$e^{-x}>0$ なので，$g^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は $-\cos x$ の符号で決まる。

したがって $x>0$ では，$$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{で }{g}^{\mathrm{\prime }}(x)<0,$$ $${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\text{で }{g}^{\mathrm{\prime }}(x)>0,$$ $${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}<x\text{で }{g}^{\mathrm{\prime }}(x)<0$$ である。また $g(0)=1,$ $$g\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=-e^{-\pi \mathrm{/}2},$$ $$g\left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\right)=e^{-3\pi \mathrm{/}2}$$ である。

零点は $\cos x-\sin x=0$ から $$x={\displaystyle \frac{\pi }{4}},x={\displaystyle \frac{5\pi }{4}}$$ である。よって概形は，$(0,1)$ から減少して $x=\pi \mathrm{/}4$ で $x$ 軸を横切り，$x=\pi \mathrm{/}2$ で最小値 $-e^{-\pi \mathrm{/}2}$ をとり，その後増加して $x=5\pi \mathrm{/}4$ で再び $x$ 軸を横切り，$x=3\pi \mathrm{/}2$ で最大値 $e^{-3\pi \mathrm{/}2}$ をとり，その後減少しながら $0$ に近づく形である。

(2) $f(x)=ax+e^{-x}\sin x$ を微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=a+e^{-x}(\cos x-\sin x)=a+g(x)$$ である。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ は $g(x)=-a$ と同値である。つまり，$f$ の極値は，$g$ のグラフと水平線 $y=-a$ の交点で決まる。 $0<x<2\pi$ で考える。$g$ は $(0,\pi \mathrm{/}2)$ で減少するので，この区間で水平線と交わると，$f^{\mathrm{\prime }}(x)=a+g(x)$ は正から負へ変わり，$f$ は極大値をとる。

一方，$g$ は $(\pi \mathrm{/}2,3\pi \mathrm{/}2)$ で増加する。ここで交わると，$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は負から正へ変わるので，極小値が生じてしまう。また $(3\pi \mathrm{/}2,2\pi )$ で交わると，さらに極大値が生じる。

したがって，極大値のみを1つだけもつためには，水平線 $y=-a$ が最初の減少部分では1回交わり，$(\pi \mathrm{/}2,3\pi \mathrm{/}2)$ の増加部分では符号変化を伴う交点をもたないことが必要である。最初の減少部分で交わるためには $-e^{-\pi \mathrm{/}2}<-a<1$ が必要であるが，増加部分で通常の交点をもたないためには，その最大値 $e^{-3\pi \mathrm{/}2}$ 以上でなければならない。$-a=e^{-3\pi \mathrm{/}2}$ のときは $x=3\pi \mathrm{/}2$ で接するだけで，$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は変わらないので極値は増えない。

よって条件は $e^{-3\pi \mathrm{/}2}\leqq -a<1$ である。したがって $$-1<a\leqq -e^{-3\pi \mathrm{/}2}$$ である。

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=a+g(x)$ と $g^{\mathrm{\prime }}(x)=-2e^{-x}\cos x$ を用い、$0,\pi \mathrm{/}2,3\pi \mathrm{/}2,2\pi$ で区切った各区間で $f^{\mathrm{\prime }}$ の増減と符号を追う。最初の区間で正から負へ1回だけ変わり、その後は正にならないための端点条件を組み合わせる。

(1) $$g^{\mathrm{\prime }}(x)=-2e^{-x}\cos x\mathrm{.}$$したがって $g$ は$$(0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{で減少},({\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{3\pi }{2}})\text{で増加},({\displaystyle \frac{3\pi }{2}},\mathrm{\infty })\text{で減少}$$する。主な値は$$g(0)=1,g\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=-e^{-\pi \mathrm{/}2},g\left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\right)=e^{-3\pi \mathrm{/}2}$$であり、零点は $\pi \mathrm{/}4,5\pi \mathrm{/}4,\dots$ である。

(2) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=a+g(x)\mathrm{.}$$$(0,\pi \mathrm{/}2)$ で極大点がちょうど1個生じるためには、$f^{\mathrm{\prime }}$ が正から負へ1回変わればよい。端点側の条件は$$a+1>0.$$求める場合には $a<0$ となるので$$a-e^{-\pi \mathrm{/}2}<0$$は自動的に満たされ、減少性から交点は1個だけである。

続く $(\pi \mathrm{/}2,3\pi \mathrm{/}2)$ で $f^{\mathrm{\prime }}$ は増加する。ここで正になれば極小値が生じるため、その最大値に対して$$a+e^{-3\pi \mathrm{/}2}\leqq 0$$が必要十分である。等号のとき $x=3\pi \mathrm{/}2$ で $f^{\mathrm{\prime }}=0$ となるが、符号は変わらないので極値ではない。その後 $f^{\mathrm{\prime }}$ は減少するため、新たな極大点もない。

以上から$$-1<a\leqq -e^{-3\pi \mathrm{/}2}$$である。