九州大学 1992年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $$A(n)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)$$であり、この長さは $n$ である。したがって $a_n^2+b_n^2=n^2$ である。

行列式は $a_n^2+b_n^2=n^2$ なので、逆行列は$$A(n{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{n^2}}\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ -b_n& a_n\end{array}\right)$$である。

(2)
直接計算すると$$A(n)A(m)=\left(\begin{array}{cc}{a}_n{a}_m-b_n{b}_m& -(a_n{b}_m+b_n{a}_m)\\ a_n{b}_m+b_n{a}_m& a_n{a}_m-b_n{b}_m\end{array}\right)$$である。この右辺は $m,n$ を入れ替えても同じである。よって $A(n)A(m)=A(m)A(n)$ である。

(3) $A(1)$ はすべてのベクトルの長さを変えない。したがって、ある角 $\theta$ を用いて$$A(1)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$と表せる。条件 $$A(1{)}^3\overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$$ が任意のベクトルで成り立つためには、3回の回転で元に戻ればよい。よって$$3\theta =0,2\pi ,4\pi$$を $0\leqq \theta <2\pi$ で考えればよい。

したがって$$A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$または$$A(1)=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$$または$$A(1)=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$$である。

(4)
条件$$A(2)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\sqrt{2}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$より$$\left(\begin{array}{c}{a}_2\\ b_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\end{array}\right)$$である。したがって $A(2)$ は長さを2倍にし、角を ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ だけ回す変換である。

よって $A(2{)}^7$ は長さを $2^7$ 倍し、角を ${\displaystyle \frac{7\pi }{4}}$ だけ回す。したがって$$A(2{)}^7\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=128\left(\begin{array}{c}\cos {\displaystyle \frac{7\pi }{4}}\\ \sin {\displaystyle \frac{7\pi }{4}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}64\sqrt{2}\\ -64\sqrt{2}\end{array}\right)$$である。

また(2)より積の順序を入れ替えられるので $$(A(2{)}^{-1}{)}^{15}A(2{)}^8=A(2{)}^{-15}A(2{)}^8=A(2{)}^{-7}$$ である。これは長さを $2^{-7}$ 倍し、角を $-{\displaystyle \frac{7\pi }{4}}$、すなわち ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ だけ回す変換である。よって$$A(2{)}^{-7}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{128}}\left(\begin{array}{c}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}\\ \sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{256}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{256}}\end{array}\right)$$である。

ベクトル $(x,y)$ を複素数 $x+yi$ とみなし、$A(n)$ の作用を複素数 $a_n+b_{n}i$ の掛け算として計算する。

(1)

$(x,y)$ を $z=x+yi$ と表すと、$A(n)$ の作用は$$z⟼(a_n+b_{n}i)z$$である。長さが常に $n$ 倍になるため$$\mid a_n+b_{n}i\mid =n,a_n^2+b_n^2=n^2\mathrm{.}$$逆の作用は $1\mathrm{/}(a_n+b_{n}i)$ の掛け算だから$$A(n{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{n^2}}\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ -b_n& a_n\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)

$A(n)A(m)$ と $A(m)A(n)$ は、それぞれ$$(a_n+b_{n}i)(a_m+b_{m}i)$$と$$(a_m+b_{m}i)(a_n+b_{n}i)$$の掛け算に対応する。複素数の積の順序は交換できるので$$A(n)A(m)=A(m)A(n)\mathrm{.}$$(3)

$\mid a_1+b_{1}i\mid =1$ であり、3乗が1だから$$a_1+b_{1}i=1,-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i,-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i\mathrm{.}$$したがって$$A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),$$$$A(1)=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right),A(1)=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$(4)

条件から$$a_2+b_{2}i=\sqrt{2}+\sqrt{2}i=2(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}})\mathrm{.}$$よって$$(a_2+b_{2}i{)}^7=2^7(\cos {\displaystyle \frac{7\pi }{4}}+i\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{4}})=64\sqrt{2}-64\sqrt{2}i\mathrm{.}$$したがって$$A(2{)}^7\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}64\sqrt{2}\\ -64\sqrt{2}\end{array}\right)\mathrm{.}$$また$${(A(2{)}^{-1})}^{15}A(2{)}^8=A(2{)}^{-7}\mathrm{.}$$対応する複素数は$$2^{-7}(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}})={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{256}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{256}}i\mathrm{.}$$よって$${(A(2{)}^{-1})}^{15}A(2{)}^8\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{256}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{256}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$