九州大学 1992年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $$f(x)-g(x)=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin (x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$$ である。よって $0\leqq x\leqq 2\pi$ で $f(x)-g(x)\geqq 0$ となる最大の区間は $[{\displaystyle \frac{\pi }{4}},{\displaystyle \frac{5\pi }{4}}]$ である。

この区間で $\sin (x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$ が最大になるのは $$x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ すなわち $$x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$$ のときである。したがって最大値は $\sqrt{2}$ である。

(2)
(1)の区間では $f(x)\geqq g(x)$ である。また $f(x)=1+\sin x$、$g(x)=1+\cos x$ はともに0以上である。したがって求める体積は $$V=\pi {\int }_{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}^{{\displaystyle \frac{5\pi }{4}}}\{f(x{)}^2-g(x{)}^2\}dx$$ である。

ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x{)}^2-g(x{)}^2}& {\displaystyle =(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x+2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x+2\sin x-2\cos x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\cos 2x+2\sin x-2\cos x}\end{array}$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}^{{\displaystyle \frac{5\pi }{4}}}(-\cos 2x+2\sin x-2\cos x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi {[-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2x-2\cos x-2\sin x]}_{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}^{{\displaystyle \frac{5\pi }{4}}}\mathrm{.}}\end{array}$$ $\sin 2x$ の項は上下端で同じ値になるので差は0である。また$$-2\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{4}}-2\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{4}}=2\sqrt{2},-2\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}-2\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=-2\sqrt{2}$$だから $$V=\pi (4\sqrt{2})=4\sqrt{2}\pi$$ である。

$u=x-\pi \mathrm{/}4$ と置き、区間を $0\leqq u\leqq \pi$ に移す。回転体の断面積に現れる積を対称な三角関数へ直して積分する。

(1) $$f(x)-g(x)=\sqrt{2}\sin (x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})\mathrm{.}$$したがって0以上となる最大区間は$$[a,b]=[{\displaystyle \frac{\pi }{4}},{\displaystyle \frac{5\pi }{4}}]$$であり、最大値は $\sqrt{2}$ である。

(2)

$u=x-\pi \mathrm{/}4$ とおくと $0\leqq u\leqq \pi$ で$$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin u,\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos u\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x{)}^2-g(x{)}^2}& {\displaystyle =(\sin x-\cos x)(2+\sin x+\cos x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\sqrt{2}\sin u+2\sin u\cos u\mathrm{.}}\end{array}$$求める体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_0^{\pi }(2\sqrt{2}\sin u+2\sin u\cos u)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi (4\sqrt{2}+0)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\sqrt{2}\pi \mathrm{.}}\end{array}$$