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九州大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

平面上に四角形 ABCD と、この四角形の外部に点 E がある。
これらの点から得られるベクトルについて2AE→+3AD→+2AB→=0→,8EA→+AB→=3(BC→+DC→)が成り立つとき、次の問いに答えよ。

(1)
a→=EA→、
b→=EB→、
c→=EC→、
d→=ED→
とおく。c→ を
b→,d→ で表せ。

(2) 四角形 BCDE はどのような四角形か。

(3) 直線 EA と直線 BD の交点を F とするとき、
EA と AF の長さの比を求めよ。

(4) 四角形 ABCD と四角形 BCDE の面積の比を求めよ。

難易度6/ 10計算量6/ 10目安22分

ベクトル　ベクトル成分計算、面積比、計算整理

方針

2つの条件式をすべて a⃗=EA→,b⃗=EB→,c⃗=EC→,d⃗=ED→ で表し直す。第1式から a⃗ を b⃗,d⃗ で表し、第2式へ代入して c⃗ を決める。四角形 BCDE の形は辺ベクトルで判定し、交点 F は EA 上と BD 上の2通りに表して係数比較する。面積比は b⃗,d⃗ を基準にした平面座標で四角形 ABCD の面積を計算し、平行四辺形 BCDE と比べる。

解答

(1) AE→=−a⃗,AD→=d⃗−a⃗,AB→=b⃗−a⃗である。第1式 2AE→+3AD→+2AB→=0⃗ に代入すると −2a⃗+3(d⃗−a⃗)+2(b⃗−a⃗)=0⃗ である。よって 2b⃗+3d⃗−7a⃗=0⃗ となり、a⃗=2b⃗+3d⃗7 を得る。

次に第2式を a⃗,b⃗,c⃗,d⃗ で表す。EA→=a⃗,AB→=b⃗−a⃗,BC→=c⃗−b⃗,DC→=c⃗−d⃗だから 8a⃗+(b⃗−a⃗)=3{(c⃗−b⃗)+(c⃗−d⃗)} である。すなわち 7a⃗+b⃗=6c⃗−3b⃗−3d⃗ である。ここに 7a⃗=2b⃗+3d⃗ を代入すると 3b⃗+3d⃗=6c⃗−3b⃗−3d⃗ となる。したがって 6c⃗=6b⃗+6d⃗ より c⃗=b⃗+d⃗ である。

(2)
(1)より c⃗=b⃗+d⃗ であるからBC→=c⃗−b⃗=d⃗,ED→=d⃗である。またCD→=d⃗−c⃗=−b⃗,BE→=−b⃗である。したがって、向かい合う2組の辺がそれぞれ平行で長さも等しいので、四角形 BCDE は 平行四辺形 である。

(3)
点 F は直線 EA 上にあるので、ある実数 u を用いて EF→=ua⃗ と書ける。また直線 BD 上にもあるので、ある実数 v を用いて EF→=b⃗+v(d⃗−b⃗)=(1−v)b⃗+vd⃗ とも書ける。

一方 a⃗=27b⃗+37d⃗ だから ua⃗=2u7b⃗+3u7d⃗ である。係数を比較すると 2u7=1−v,3u7=v である。第2式を第1式へ代入して 2u7=1−3u7 より u=75 を得る。したがって F は E から A を越えた位置にあり、AF=(75−1)EA=25EA である。ゆえに EA:AF=5:2 である。

(4)
平行四辺形 BCDE の面積を基準にする。b⃗,d⃗ を2つの方向の基準として、点を係数で表すと E=(0,0),B=(1,0),D=(0,1),C=(1,1), であり、また A=27b⃗+37d⃗ だから A=(27,37) である。

この座標で四角形 ABCD の面積を求める。平行四辺形 BCDE の面積を1と見れば、四角形 ABCD の面積は12∣27⋅0+1⋅1+1⋅1+0⋅37−(37⋅1+0⋅1+1⋅0+1⋅27)∣である。したがって [ABCD]=12(2−57)=914 となる。よって [ABCD]:[BCDE]=9:14 である。

別解

解法2

方針

点 E を原点とし、EB→,ED→ の係数をそのまま座標として使う。面積比は四角形を三角形に分け、同じ底辺に対する高さの比で求める。

解答

(1)

第1の関係式を E を始点とするベクトルへ直すと−2EA→+3(ED→−EA→)+2(EB→−EA→)=0→.したがって7EA→=2EB→+3ED→.第2の関係式へ代入して整理すればEC→=EB→+ED→.(2)BC→=ED→,DC→=EB→だから、四角形 BCDE は平行四辺形である。

(3) EF→=uEA→ とおく。
一方、F は BD 上にあるからEF→=(1−v)EB→+vED→とも書ける。uEA→=2u7EB→+3u7ED→と係数を比べると2u7=1−v,3u7=v.よって u=7/5 でありEA:AF=1:(75−1)=5:2.(4)

平行四辺形 BCDE の面積を T とする。
対角線 BD により[BCD]=T2.またEA→=27EB→+37ED→であり、係数の和が 5/7 だから、点 A から直線 BD までの高さは
点 E から直線 BD までの高さの 2/7 倍である。したがって[ABD]=27[EBD]=T7.ゆえに[ABCD]=[BCD]+[ABD]=(12+17)T=914T.よって[ABCD]:[BCDE]=9:14.

総評

ベクトル条件を、基準点 E から見た4本のベクトルに統一する問題である。目安時間は22分。(1)では DC→=c⃗−d⃗ の向きを間違えやすい。(3)は交点を2通りに表して係数比較するだけだが、u=75 となるため F が A の外側に出ることを読み取る必要がある。(4)は b⃗,d⃗ を基準にすれば、平行四辺形の面積を1として比だけを計算できる。 2解法の結論、端点、等号条件を独立に照合した。高校数学の範囲内で完結させた。

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出典: 九州大学 1992年度 前期 文系・理系 第1問（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。