九州大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

直線 $PA$ 上の点は $P+\lambda (A-P)$ と表せる。$A$ の $z$ 座標は $2$ なので、$z=0$ となるためには $3+\lambda (2-3)=0$ より $\lambda =3$ である。したがって $$A^{\mathrm{\prime }}=P+3(A-P)=(-2a,3-2b,0)$$ である。

同様に $B^{\mathrm{\prime }}=(-2a,-3-2b,0)$ である。また $C$ の $z$ 座標は $1$ なので、$z=0$ となるのは $3+\lambda (1-3)=0$ より $\lambda =3\mathrm{/}2$ のときである。よって $$C^{\mathrm{\prime }}=(-{\displaystyle \frac{a}{2}},-{\displaystyle \frac{b}{2}},0)$$ である。

(2) $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$ は $x=-2a$ 上の線分であり、長さは $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}=6$ である。その中点は $M=(-2a,-2b,0)$ である。

三角形 $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ が正三角形になるには、$C^{\mathrm{\prime }}$ が $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$ の垂直二等分線上にあり、$M$ からの距離が $3\sqrt{3}$ でなければならない。まず $C^{\mathrm{\prime }}$ の $y$ 座標が $M$ と等しい必要があるので $$-{\displaystyle \frac{b}{2}}=-2b$$ より $b=0$ である。このとき $$M{C}^{\mathrm{\prime }}=\mid -{\displaystyle \frac{a}{2}}+2a\mid ={\displaystyle \frac{3a}{2}}$$ であり、$a\geqq 0$ だから $${\displaystyle \frac{3a}{2}}=3\sqrt{3}$$ である。よって $a=2\sqrt{3}$ となる。したがって $P_0=(2\sqrt{3},0,3)$ である。

(3)

半円上の点を $Q=(0,y,z)$ とおく。このとき $$y^2+(z-2{)}^2=1,1\leqq z\leqq 2$$ である。

直線 $P_{0}Q$ 上の点は $P_0+\lambda (Q-P_0)$ と表せる。$z=0$ となるためには $3+\lambda (z-3)=0$ より $$\lambda ={\displaystyle \frac{3}{3-z}}$$ である。したがって $Q^{\mathrm{\prime }}=(X,Y,0)$ とおくと$$X=2\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{6\sqrt{3}}{3-z}}=-{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}z}{3-z}},Y={\displaystyle \frac{3y}{3-z}}$$である。

この2式と半円の式から $y,z$ を消去する。まず $$X=-{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}z}{3-z}}$$ より $$z={\displaystyle \frac{3X}{X-2\sqrt{3}}}$$ である。また $$y={\displaystyle \frac{Y(3-z)}{3}}$$ である。これを $y^2+(z-2{)}^2=1$ に代入して整理すると $Y^2=-\sqrt{3}X-3$ を得る。

さらに $1\leqq z\leqq 2$ より、$X$ の範囲は $$-4\sqrt{3}\leqq X\leqq -\sqrt{3}$$ である。よって軌跡は $$Y^2=-\sqrt{3}X-3,-4\sqrt{3}\leqq X\leqq -\sqrt{3}$$ で表される放物線の部分である。

半円を半角変数で媒介表示し、投影後の座標をパラメータ $\tau$ の二次式・一次式として軌跡を得る。

(1)

点 $R$ の高さを $z_R$ とすると、直線 $PR$ と $z=0$ の交点は$$P+{\displaystyle \frac{3}{3-z_R}}(R-P)$$である。これを $A,B,C$ に適用して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =(-2a,3-2b,0),}\\ {\displaystyle B^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =(-2a,-3-2b,0),}\\ {\displaystyle C^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =(-{\displaystyle \frac{a}{2}},-{\displaystyle \frac{b}{2}},0)\mathrm{.}}\end{array}$$(2)

$A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}=6$ で、その中点は $M=(-2a,-2b,0)$ である。正三角形の条件$$C_y^{\mathrm{\prime }}=M_y,M{C}^{\mathrm{\prime }}=3\sqrt{3}$$から$$b=0,a=2\sqrt{3}\mathrm{.}$$よって$$P_0=(2\sqrt{3},0,3)\mathrm{.}$$(3)

半角変数で媒介表示する。

半円上の点を$$Q=(0,\sin \varphi ,2-\cos \varphi ),-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \varphi \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$とおく。さらに$$\tau =\tan {\displaystyle \frac{\varphi }{2}}(-1\leqq \tau \leqq 1)$$とする。直線 $P_{0}Q$ と $z=0$ の交点を $Q^{\mathrm{\prime }}=(X,Y,0)$ とすると$$X=-{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}z}{3-z}},Y={\displaystyle \frac{3y}{3-z}}\mathrm{.}$$$$\sin \varphi ={\displaystyle \frac{2\tau }{1+{\tau }^2}},\cos \varphi ={\displaystyle \frac{1-{\tau }^2}{1+{\tau }^2}}$$を代入すれば$$X=-\sqrt{3}(1+3{\tau }^2),Y=3\tau \mathrm{.}$$したがって$$Y^2=-\sqrt{3}X-3,-4\sqrt{3}\leqq X\leqq -\sqrt{3}\mathrm{.}$$よって軌跡は$$Y^2=-\sqrt{3}X-3(-4\sqrt{3}\leqq X\leqq -\sqrt{3})$$で表される放物線の部分である。