九州大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
平面 $S$ は原点を通るので，$ax+by+cz=0$ とおける。点 $(1,0,1)$ を通るから $a+c=0$ であり，点 $(1,1,0)$ を通るから $a+b=0$ である。したがって $b=-a$，$c=-a$ であり，$a\mathrm{\ne }0$ として割れば $x-y-z=0$ を得る。よって $S:x-y-z=0$ である。

(2)
平面 $S:x-y-z=0$ の法線方向は $(1,-1,-1)$ である。点 $P(x,y,z)$ から平面 $S$ に直交する直線上の点は $(x,y,z)-\lambda (1,-1,-1)$ と表せる。これを $Q(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }},z^{\mathrm{\prime }})$ とすると $$x^{\mathrm{\prime }}=x-\lambda ,y^{\mathrm{\prime }}=y+\lambda ,z^{\mathrm{\prime }}=z+\lambda$$ である。 $Q$ は平面 $S$ 上にあるから $x^{\mathrm{\prime }}-y^{\mathrm{\prime }}-z^{\mathrm{\prime }}=0$ である。代入すると $$(x-\lambda )-(y+\lambda )-(z+\lambda )=0$$ すなわち $x-y-z-3\lambda =0$ である。よって $$\lambda ={\displaystyle \frac{x-y-z}{3}}$$ である。

したがって $$x^{\mathrm{\prime }}=x-{\displaystyle \frac{x-y-z}{3}}={\displaystyle \frac{2x+y+z}{3}},$$ $$y^{\mathrm{\prime }}=y+{\displaystyle \frac{x-y-z}{3}}={\displaystyle \frac{x+2y-z}{3}},$$ $$z^{\mathrm{\prime }}=z+{\displaystyle \frac{x-y-z}{3}}={\displaystyle \frac{x-y+2z}{3}}$$ である。求める対応式は$$(x,y,z)⟼({\displaystyle \frac{2x+y+z}{3}},{\displaystyle \frac{x+2y-z}{3}},{\displaystyle \frac{x-y+2z}{3}})$$である。

平面内の2本の方向ベクトルに垂直な法線ベクトルを連立条件で求める。(2)では直交射影の一般形 $Q=P-\lambda \mathit{n}$ を使い，内積 $Q\cdot \mathit{n}=0$ から $\lambda$ を一度に決定する。

(1)
平面内の2本の方向ベクトルは$$\mathit{u}=(1,0,1),\mathit{v}=(1,1,0)$$である。法線ベクトルを $$\mathit{n}=(\alpha ,\beta ,\gamma )$$ とすると$$\mathit{n}\cdot \mathit{u}=\alpha +\gamma =0,\mathit{n}\cdot \mathit{v}=\alpha +\beta =0.$$よって $\mathit{n}=(1,-1,-1)$ と取れる。平面は原点を通るから$$S:x-y-z=0$$である。

(2)
$P$ から $S$ への直交射影を $Q$ とすると$$Q=P-\lambda \mathit{n}\mathrm{.}$$$Q$ は $S$ 上にあるので $Q\cdot \mathit{n}=0$ である。したがって$$0=(P-\lambda \mathit{n})\cdot \mathit{n}=x-y-z-3\lambda$$より$$\lambda ={\displaystyle \frac{x-y-z}{3}}\mathrm{.}$$ゆえに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =x-\lambda ={\displaystyle \frac{2x+y+z}{3}},}\\ {\displaystyle y^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =y+\lambda ={\displaystyle \frac{x+2y-z}{3}},}\\ {\displaystyle z^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =z+\lambda ={\displaystyle \frac{x-y+2z}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって求める写像は$$(x,y,z)⟼({\displaystyle \frac{2x+y+z}{3}},{\displaystyle \frac{x+2y-z}{3}},{\displaystyle \frac{x-y+2z}{3}})$$である。