九州大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)

接点を $X=(x,y,z)$ とする。球面は原点中心、半径1であるから $\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }=1$ である。また、接線 $AX$ は半径 $OX$ と垂直である。したがって $(A-X)\cdot X=0$ である。

これを展開すると $A\cdot X-X\cdot X=0$ であり、$\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }=1$ より $A\cdot X=1$ となる。$A=(a,b,c)$ だから、接点はすべて平面 $ax+by+cz=1$ 上にある。よって $H:ax+by+cz=1$ である。

(2) $r=OA$ とする。点 $A$ は球面の外側にあるので $r>1$ である。平面 $H$ と原点との距離は $${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}={\displaystyle \frac{1}{r}}$$ である。したがって、原点を含まない側の球冠の高さは $1-{\displaystyle \frac{1}{r}}$ である。

半径1の球で、高さ $h$ の球冠の体積は ${\displaystyle \frac{\pi h^2(3-h)}{3}}$ である。ここで $h=1-1\mathrm{/}r$ とすれば $$V_1={\displaystyle \frac{\pi }{3}}{(1-{\displaystyle \frac{1}{r}})}^2(2+{\displaystyle \frac{1}{r}})$$ である。

次に円錐の体積を求める。平面 $H$ と球面の交わりは円であり、その半径は $\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{r^2}}}$ である。また、円錐の頂点は $A$、底面は平面 $H$ 上のこの円であるから、高さは $r-{\displaystyle \frac{1}{r}}$ である。よって $$V_2={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(1-{\displaystyle \frac{1}{r^2}})(r-{\displaystyle \frac{1}{r}})$$ である。

したがって$${\displaystyle \frac{V_1}{V_2}}={\displaystyle \frac{{(1-{\displaystyle \frac{1}{r}})}^2(2+{\displaystyle \frac{1}{r}})}{(1-{\displaystyle \frac{1}{r^2}})(r-{\displaystyle \frac{1}{r}})}}={\displaystyle \frac{2r+1}{(r+1{)}^2}}$$である。よって $$\underset{r\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{V_1}{V_2}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$$ である。

球冠の高さ $h=1-1\mathrm{/}r$ を変数にし、球冠と円錐をともに $h$ の式へ直して極限を取る。

(1)
接点ベクトルを $\mathit{x}$、点 $A$ の位置ベクトルを $\mathit{a}$ とする。接線と半径の直交から$$(\mathit{a}-\mathit{x})\cdot \mathit{x}=0.$$球面上では $\mathrm{\mid }\mathit{x}\mathrm{\mid }=1$ なので$$\mathit{a}\cdot \mathit{x}=1.$$したがって$$H:ax+by+cz=1\mathrm{.}$$(2)
球冠の高さを$$h=1-{\displaystyle \frac{1}{r}}$$とおく。すると $r=1\mathrm{/}(1-h)$ であり、$r\to 1+0$ は $h\to 0+0$ に対応する。球冠の体積は$$V_1={\displaystyle \frac{\pi h^2(3-h)}{3}}\mathrm{.}$$接点円の半径の2乗は$$1-{\displaystyle \frac{1}{r^2}}=1-(1-h{)}^2=h(2-h),$$円錐の高さは$$r-{\displaystyle \frac{1}{r}}={\displaystyle \frac{1}{1-h}}-(1-h)={\displaystyle \frac{h(2-h)}{1-h}}\mathrm{.}$$よって$$V_2={\displaystyle \frac{\pi }{3}}{\displaystyle \frac{h^2(2-h{)}^2}{1-h}}\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{V_1}{V_2}}={\displaystyle \frac{(3-h)(1-h)}{(2-h{)}^2}}⟶{\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$