九州大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $$\vec{u}=\overrightarrow{OA}$$、$$\vec{v}=\overrightarrow{OB}$$ とおく。このとき$$\mathrm{\mid }\vec{u}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }=a,\vec{u}\cdot \vec{v}=a^2\cos \theta$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\vec{v}-t\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2-2t\vec{u}\cdot \vec{v}+t^2\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^2\{(t-\cos \theta {)}^2+{\sin }^2\theta \}\mathrm{.}}\end{array}$$よって、最小にする実数は$$t=\cos \theta$$であり、そのときの大きさは $a\sin \theta$ である。

(2)
(1) の $t$ に対して$$\overrightarrow{O{B}^{\mathrm{\prime }}}=\vec{v}-\cos \theta \vec{u}$$である。このベクトルは$$\overrightarrow{O{B}^{\mathrm{\prime }}}\cdot \vec{u}=a^2\cos \theta -a^2\cos \theta =0$$を満たす。したがって $B^{\mathrm{\prime }}$ は、$O$ を通り $OA$ に垂直な平面上にある。

一方、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A{B}^2}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\vec{v}-\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2a^2(1-\cos \theta )}\end{array}$$だから、$AB\leqq a$ は$$\cos \theta \geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$と同値である。ゆえに$$0^{\circ }\leqq \theta \leqq {60}^{\circ }$$であり、$$0\leqq O{B}^{\mathrm{\prime }}=a\sin \theta \leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}a\mathrm{.}$$逆に、上の平面内で $O$ からの距離が$$0\leqq \rho \leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}a$$である任意の点をとる。$\rho =a\sin \theta$ となる$$0^{\circ }\leqq \theta \leqq {60}^{\circ }$$ が存在し、$OA$ のまわりの向きも自由に選べるので、その点を $B^{\mathrm{\prime }}$ とする球面上の $B$ が得られる。

したがって軌跡は$$O\text{ を中心、半径 }{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}a\text{ とする、 }OA\text{ に垂直な平面上の閉円板}$$である。

$O$ を原点、$A$ を $x$ 軸上に置き、球面上の $B$ を極角と方位角で表す。最小化は座標ごとの二乗和から行い、得られる $B^{\mathrm{\prime }}$ の座標を見て平面と半径を同時に確定する。

(1) $$O=(0,0,0),A=(a,0,0)$$とし、球面上の点 $B$ を$$B=(a\cos \theta ,a\sin \theta \cos \phi ,a\sin \theta \sin \phi )$$と表す。このとき$$\begin{array}{r}{\displaystyle \overrightarrow{OB}-t\overrightarrow{OA}=(a(\cos \theta -t),a\sin \theta \cos \phi ,a\sin \theta \sin \phi )}\end{array}$$だから、その長さの二乗は$$a^2(\cos \theta -t{)}^2+a^2{\sin }^2\theta \mathrm{.}$$よって最小にする値は$$t=\cos \theta$$で、最小の長さは $a\sin \theta$ である。

(2)
このとき$$B^{\mathrm{\prime }}=(0,a\sin \theta \cos \phi ,a\sin \theta \sin \phi )\mathrm{.}$$したがって $B^{\mathrm{\prime }}$ は $x=0$ 平面上にあり、原点からの距離は$$O{B}^{\mathrm{\prime }}=a\sin \theta$$である。

また$$AB=2a\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$$なので、$AB\leqq a$ から$$\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}},0^{\circ }\leqq \theta \leqq {60}^{\circ }$$を得る。よって$$0\leqq O{B}^{\mathrm{\prime }}\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}a\mathrm{.}$$$\phi$ は $0^{\circ }$ から ${360}^{\circ }$ まで自由に動き、各半径も $\theta$ により連続的に全て得られる。したがって、軌跡は $x=0$ 平面上の中心 $O$、半径 $\sqrt{3}a\mathrm{/}2$ の閉円板である。