九州大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)

まず $a_1=1$、$a_2=2$ であり、以下で得られる式から各項は0にならない。そこで $$r_n={\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}$$ とおく。与えられた漸化式 $$a_{n+2}{a}_n+a_{n+1}^2-a_{n+1}{a}_n=0$$ を $a_n{a}_{n+1}$ で割ると $${\displaystyle \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}}+{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}-1=0$$ である。したがって $r_{n+1}+r_n-1=0$ すなわち $r_{n+1}=1-r_n$ である。 $r_1=a_2\mathrm{/}{a}_1=2$ だから $$r_2=-1,r_3=2,r_4=-1$$ となり、以後 $$r_{2j-1}=2,r_{2j}=-1$$ を繰り返す。よって $$a_{2j}=2a_{2j-1},a_{2j+1}=-a_{2j}$$ である。したがって $$a_{2j-1}=(-2{)}^{j-1},a_{2j}=2(-2{)}^{j-1}$$ である。

(2)

2項ずつ組にすると $$a_{2j-1}+a_{2j}=(-2{)}^{j-1}+2(-2{)}^{j-1}=3(-2{)}^{j-1}$$ である。したがって$$S_{2m}=\sum _{j=1}^{m}3(-2{)}^{j-1}=3\cdot {\displaystyle \frac{1-(-2{)}^m}{1-(-2)}}=1-(-2{)}^m$$である。また $$S_{2m-1}=S_{2m}-a_{2m}=\{1-(-2{)}^m\}-2(-2{)}^{m-1}=1$$ である。よって $$S_{2m-1}=1,S_{2m}=1-(-2{)}^m$$ である。

得られる一般項を先に予想し、漸化式へ代入して数学的帰納法で確定する。部分和は隣り合う2項を組にした等比数列として計算する。

(1)

最初の数項を漸化式から求めると$$1,2,-2,-4,4,8,\dots$$となる。そこで$$a_{2j-1}=(-2{)}^{j-1},a_{2j}=2(-2{)}^{j-1}$$と予想する。

$j=1$ では初期条件に一致する。これらがある $j$ まで成り立つとする。漸化式を$$a_{n+2}={\displaystyle \frac{a_{n+1}(a_n-a_{n+1})}{a_n}}$$と書き、予想式を代入すると、次の奇数項・偶数項もそれぞれ $(-2{)}^j,2(-2{)}^j$ になる。予想式は0にならないため除法も正当であり、帰納法で一般項が確定する。

(2)

2項ずつ組にすると$$a_{2j-1}+a_{2j}=3(-2{)}^{j-1}\mathrm{.}$$したがって$$S_{2m}=3\sum _{j=1}^m(-2{)}^{j-1}=1-(-2{)}^m\mathrm{.}$$また$$S_{2m-1}=S_{2m}-a_{2m}=1.$$よって$$S_{2m-1}=1,S_{2m}=1-(-2{)}^m\mathrm{.}$$