九州大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)

固定点を求めると $x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+3$ より ${\displaystyle \frac{3}{2}}x=3,x=2$ である。したがって漸化式を固定点からの差で書くと $$x_n-2=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x_{n-1}-2)$$ となる。$x_1=1$ なので $x_1-2=-1.$ よって$$x_n-2={(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-1}(x_1-2)=-{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-1}\mathrm{.}$$したがって $$x_n=2-{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-1}$$ である。

(2)

点 $P_n$ は $$P_n=(x_n,f(x_n))=(x_n,x_{n+1})$$ と書ける。(1) より ${(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-1}\to 0$ なので $x_n\to 2,x_{n+1}\to 2.$ したがって動点 $P$ は $(2,2)$ に近づく。

(3)

まず$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x_{n+1}-x_n}& {\displaystyle =\{2-{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n\}-\{2-{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-1}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-1}(1+{\displaystyle \frac{1}{2}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3}{2}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-1}\mathrm{.}}\end{array}$$また $$x_{n+2}-x_{n+1}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x_{n+1}-x_n)$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle l_n}& {\displaystyle =\sqrt{(x_{n+1}-x_n{)}^2+(x_{n+2}-x_{n+1}{)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{\mid }{x}_{n+1}-x_n\mathrm{\mid }\sqrt{1+{\displaystyle \frac{1}{4}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3}{2}}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-1}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{4}}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-1}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$L=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{l}_n={\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{4}}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-1}={\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{1-1\mathrm{/}2}}\mathrm{.}$$したがって $$L={\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{2}}$$ である。

固定点からの差が公比 $-1\mathrm{/}2$ の等比数列になることを使う。点列の隣接差ベクトル自体も毎回 $-1\mathrm{/}2$ 倍になるので、折れ線の全長は最初の1辺と等比級数だけで求める。

(1)
固定点2からの差を $u_n=x_n-2$ とおくと$$u_n=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{u}_{n-1},u_1=-1.$$従って$$x_n=2-{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-1}\mathrm{.}$$(2)
$P_n=(x_n,x_{n+1})$ だから $P_n\to (2,2)$ である。

(3)
隣接差ベクトルを$${\mathrm{\Delta }}_n=P_{n+1}-P_n$$とする。$x_{n+1}-x_n$ も次の段階で $-1\mathrm{/}2$ 倍になるため$${\mathrm{\Delta }}_{n+1}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{\Delta }}_n\mathrm{.}$$よって $l_{n+1}=l_n\mathrm{/}2$ である。最初の3項は$$x_1=1,x_2={\displaystyle \frac{5}{2}},x_3={\displaystyle \frac{7}{4}}$$なので$$l_1=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2+{(-{\displaystyle \frac{3}{4}})}^2}={\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{4}}\mathrm{.}$$従って$$L=l_1(1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2^2}}+\cdots )={\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{2}}\mathrm{.}$$