九州大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)
放物線と直線$y=ax$の交点は $\sqrt{2}{x}^2-x=ax$ すなわち $x\{\sqrt{2}x-(a+1)\}=0$ を満たす。原点以外の交点は $$x={\displaystyle \frac{a+1}{\sqrt{2}}}$$ である。したがって $$P=({\displaystyle \frac{a+1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{a(a+1)}{\sqrt{2}}})$$ である。

放物線$y=\sqrt{2}{x}^2-x$の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=2\sqrt{2}x-1$ である。原点$O$における接線は $y=-x$ である。また$P$における接線の傾きは $$2\sqrt{2}\cdot {\displaystyle \frac{a+1}{\sqrt{2}}}-1=2a+1$$ である。この接線と$y=-x$の交点を求めると $$Q=({\displaystyle \frac{\sqrt{2}(a+1)}{4}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}(a+1)}{4}})$$ である。

したがって$M$は$OQ$の中点なので $$M=({\displaystyle \frac{\sqrt{2}(a+1)}{8}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}(a+1)}{8}})$$ である。

次に$N=(X,Y)$とおく。$N$は$O,P,Q$から等距離にあるので $$N{O}^2=N{P}^2,N{O}^2=N{Q}^2$$ である。これは$$X{x}_P+Y{y}_P={\displaystyle \frac{x_P^2+y_P^2}{2}},X{x}_Q+Y{y}_Q={\displaystyle \frac{x_Q^2+y_Q^2}{2}}$$と同値である。ここに$P,Q$の座標を代入して解くと $$N=({\displaystyle \frac{\sqrt{2}(a^2+a+1)}{4}},{\displaystyle \frac{\sqrt{2}{a}^2}{4}})$$ である。

(2)
$a>-1$なので$a+1>0$である。したがって $$t=OM={\displaystyle \frac{a+1}{4}}$$ である。また計算すると $$s=MN={\displaystyle \frac{2a^2+a+1}{4}}$$ である。$a=4t-1$を代入して $$s={\displaystyle \frac{2(4t-1{)}^2+(4t-1)+1}{4}}$$ を整理すると $s=8t^2-3t+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

(3)
(1)
より、$N$の軌跡は $$x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}(a^2+a+1)}{4}},y={\displaystyle \frac{\sqrt{2}{a}^2}{4}}(a>-1)$$ で表される。$a\to -1+0$のとき $$N\to ({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}},{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}})$$ であり、この点は直線$y=x$上にあるが、$a>-1$なので到達しない。$a=0$のとき $$N=({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}},0)$$ であり、ここで$x$軸と交わる。$a>0$では第1象限を右上へ伸びる。これらをもとに概形を描けばよい。

(4)
囲まれる部分は、$-1<a\leqq 0$に対応する曲線の枝、$x$軸、直線$y=x$で囲まれる部分である。媒介変数表示 $$x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}(a^2+a+1)}{4}},y={\displaystyle \frac{\sqrt{2}{a}^2}{4}}$$ を用いる。

境界を、$x$軸上の線分、曲線、直線$y=x$の順に回ると、直線$y=x$上では$xdy-ydx=0$であり、$x$軸上でも寄与は0である。したがって面積$A$は曲線部分だけから $$A={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{-1}(xdy-ydx)$$ で求められる。ここで $$dx={\displaystyle \frac{\sqrt{2}(2a+1)}{4}}da,dy={\displaystyle \frac{\sqrt{2}a}{2}}da$$ だから $$xdy-ydx={\displaystyle \frac{a^2+2a}{8}}da$$ である。よって $$A={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{-1}{\displaystyle \frac{a^2+2a}{8}}da={\displaystyle \frac{1}{24}}$$ である。

座標を45度回転し、$u=(x-y)\mathrm{/}\sqrt{2}$, $v=(x+y)\mathrm{/}\sqrt{2}$ とおく。この座標では $u=OM=t$, $v=MN=s$ となり、$N$ の軌跡は普通の放物線 $v=8u^2-3u+1\mathrm{/}2$ になる。面積も回転で保存される。

(1)
交点と接線を計算して$$P=({\displaystyle \frac{a+1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{a(a+1)}{\sqrt{2}}}),$$$$Q=({\displaystyle \frac{\sqrt{2}(a+1)}{4}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}(a+1)}{4}}),M=({\displaystyle \frac{\sqrt{2}(a+1)}{8}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}(a+1)}{8}})\mathrm{.}$$$N$ は三角形 $OPQ$ の外心だから、$OQ$ の垂直二等分線上にある。距離条件をもう1本用いて$$N=({\displaystyle \frac{\sqrt{2}(a^2+a+1)}{4}},{\displaystyle \frac{\sqrt{2}{a}^2}{4}})\mathrm{.}$$(2)$$u={\displaystyle \frac{x-y}{\sqrt{2}}},v={\displaystyle \frac{x+y}{\sqrt{2}}}$$とおく。この直交座標で $N$ は$$u={\displaystyle \frac{a+1}{4}},v={\displaystyle \frac{2a^2+a+1}{4}}$$となる。幾何的に $u=OM=t,v=MN=s$ だから $a=4t-1$ を代入して$$s=8t^2-3t+{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$(3)
$a>-1$ より $u>0$ であり、軌跡は$$v=8u^2-3u+{\displaystyle \frac{1}{2}},u>0.$$$a\to -1+0$ の端点は $(u,v)=(0,1\mathrm{/}2)$ で含まず、$a=0$ では $(u,v)=(1\mathrm{/}4,1\mathrm{/}4)$ となる。

(4)
座標回転は面積を保つ。$x$ 軸は $v=u$、$y=x$ は $u=0$ である。囲まれる領域では $0\leqq u\leqq 1\mathrm{/}4$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A}& {\displaystyle ={\int }_0^{1\mathrm{/}4}(8u^2-3u+{\displaystyle \frac{1}{2}}-u)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{8}{3}}{u}^3-2u^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}u]}_0^{1\mathrm{/}4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{24}}\mathrm{.}}\end{array}$$\Needspace{7cm}