九州大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験 数列文系数学 第3問(a)

(1)

まず $p=1$ の場合を考える。このとき $a_{n+1}=a_n-1$ であり，$a_1=1$ だから $a_n=2-n\mathrm{.}$ したがって$$S_n=\sum _{r=1}^n(2-r)=2n-{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}={\displaystyle \frac{n(3-n)}{2}}\mathrm{.}$$次に $p\mathrm{\ne }1$ とする。漸化式 $a_{n+1}=p{a}_n-p$ の定数解を $A$ とすると $A=pA-p$ より $$A={\displaystyle \frac{p}{p-1}}\mathrm{.}$$ よって $$a_{n+1}-{\displaystyle \frac{p}{p-1}}=p(a_n-{\displaystyle \frac{p}{p-1}})\mathrm{.}$$ したがって$$a_n-{\displaystyle \frac{p}{p-1}}=p^{n-1}(1-{\displaystyle \frac{p}{p-1}})=-{\displaystyle \frac{p^{n-1}}{p-1}},$$すなわち $$a_n={\displaystyle \frac{p-p^{n-1}}{p-1}}\mathrm{.}$$ ゆえに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n}& {\displaystyle =\sum _{r=1}^n{\displaystyle \frac{p-p^{r-1}}{p-1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{np}{p-1}}-{\displaystyle \frac{1}{p-1}}\cdot {\displaystyle \frac{p^n-1}{p-1}}}\end{array}$$であるから $$S_n={\displaystyle \frac{np}{p-1}}-{\displaystyle \frac{p^n-1}{(p-1{)}^2}}$$ である。

(2) $b_n$ については $b_1=q,$ また $b_2=b_1+q=2q,$ である。さらに $b_{n+2}=b_n$ となるので $$b_1,b_2,b_3,b_4,\dots =q,2q,q,2q,\dots$$ と交互に並ぶ。 $m$ は正の偶数とする。第 $m$ 区画の直前までの項数を $i$，第 $m$ 区画までの項数を $j$ とする。第 $1$ 区画から第 $m-1$ 区画までには，長さ $q$ の区画が $m\mathrm{/}2$ 個，長さ $2q$ の区画が $m\mathrm{/}2-1$ 個ある。したがって$$i={\displaystyle \frac{m}{2}}q+({\displaystyle \frac{m}{2}}-1)2q=({\displaystyle \frac{3m}{2}}-2)q\mathrm{.}$$第 $m$ 区画は偶数番目なので長さ $2q$ であるから $$j=i+2q={\displaystyle \frac{3mq}{2}}\mathrm{.}$$ よって $T_m=S_j-S_i$ である。 $p=1$ のときは $S_n=n(3-n)\mathrm{/}2$ より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T_m}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{j(3-j)-i(3-i)}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(j-i)\{3-(i+j)\}}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $j-i=2q$，$i+j=(3m-2)q$ だから $T_m=q\{3-(3m-2)q\}\mathrm{.}$ $p\mathrm{\ne }1$ のときは $$S_n={\displaystyle \frac{np}{p-1}}-{\displaystyle \frac{p^n-1}{(p-1{)}^2}}$$ を用いて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T_m}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(j-i)p}{p-1}}-{\displaystyle \frac{p^j-p^i}{(p-1{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2pq}{p-1}}-{\displaystyle \frac{p^{3mq\mathrm{/}2}-p^{(3m\mathrm{/}2-2)q}}{(p-1{)}^2}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $$T_m={\displaystyle \frac{2pq}{p-1}}-{\displaystyle \frac{p^{3mq\mathrm{/}2}-p^{(3m\mathrm{/}2-2)q}}{(p-1{)}^2}}$$ である。

漸化式を項別に解く代わりに、$a_{r+1}-p{a}_r=-p$ を必要な範囲で加えて和 $S_n$ を直接求める。区画和は開始番号と終了番号を数え、同じ和の公式の差として計算する。

(1)
$p\mathrm{\ne }1$ とする。漸化式を $r=1,\dots ,n-1$ で加えると$$(S_n-a_1)-p(S_n-a_n)=-(n-1)p\mathrm{.}$$$a_1=1$ であり、反復から$$a_n={\displaystyle \frac{p-p^{n-1}}{p-1}}$$なので整理して$$S_n={\displaystyle \frac{np}{p-1}}-{\displaystyle \frac{p^n-1}{(p-1{)}^2}}\mathrm{.}$$$p=1$ では $a_n=2-n$ だから$$S_n={\displaystyle \frac{n(3-n)}{2}}\mathrm{.}$$(2)
$b_{2r-1}=q,b_{2r}=2q$ である。偶数 $m$ の第 $m$ 区画は$$i+1\leqq n\leqq j,i=({\displaystyle \frac{3m}{2}}-2)q,j={\displaystyle \frac{3mq}{2}}$$に対応するので $T_m=S_j-S_i$ である。

$p=1$ なら$$T_m=q\{3-(3m-2)q\}\mathrm{.}$$$p\mathrm{\ne }1$ なら$$T_m={\displaystyle \frac{2pq}{p-1}}-{\displaystyle \frac{p^{3mq\mathrm{/}2}-p^{(3m\mathrm{/}2-2)q}}{(p-1{)}^2}}\mathrm{.}$$