九州大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 方程式・不等式・論証・証明文系数学 第3問(a)

(1) $${\displaystyle \frac{x}{1+x}}-{\displaystyle \frac{y}{1+y}}={\displaystyle \frac{x(1+y)-y(1+x)}{(1+x)(1+y)}}={\displaystyle \frac{x-y}{(1+x)(1+y)}}\mathrm{.}$$ $x\geqq y\geqq 0$ より、分子は非負、分母は正である。したがって $${\displaystyle \frac{x}{1+x}}\geqq {\displaystyle \frac{y}{1+y}}$$ が成り立つ。

(2)

(2) (i) $u=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$ とおく。$u\geqq \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ であるから$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{1+\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}}-{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{1+u}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }(u-\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid })}{(1+\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid })(1+u)}}\geqq 0$$である。同様に $\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$、$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$ についても$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }}{1+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }}}\geqq {\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }}{1+u}},{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}{1+\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}}\geqq {\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}{1+u}}$$が成り立つ。よって$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{1+\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }}{1+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}{1+\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}}\geqq {\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}{1+u}}={\displaystyle \frac{u}{1+u}}\mathrm{.}$$また、三角不等式より $u\geqq \mathrm{\mid }x+y+z\mathrm{\mid }\mathrm{.}$ (1)を $u$ と $\mathrm{\mid }x+y+z\mathrm{\mid }$ に適用すると $${\displaystyle \frac{u}{1+u}}\geqq {\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x+y+z\mathrm{\mid }}{1+\mathrm{\mid }x+y+z\mathrm{\mid }}}\mathrm{.}$$ 以上を合わせて、求める不等式が示された。

(2) (ii)

上の証明で等号が成り立つには、まず$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{1+\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{1+u}},{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }}{1+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }}{1+u}},{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}{1+\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}{1+u}}$$が同時に必要である。例えば1つ目の等号は $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=0$ または $u=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ のときに限る。したがって、$x,y,z$ のうち2つ以上が0でないと、少なくとも1つの項で等号にならない。

逆に、$x,y,z$ のうち0でないものが高々1つであれば、左辺と右辺は同じ値になる。したがって等号成立条件は $x,y,z\text{ のうち高々1つだけが0でない}$ ことである。

$\varphi (t)=t\mathrm{/}(1+t)$ の2変数に対する加法的不等式を直接計算し、それを2回適用する。最後に三角不等式と $\varphi$ の単調性を使い、等号条件を積の消滅条件から読む。

(1)

$x\geqq y\geqq 0$ のとき$${\displaystyle \frac{x}{1+x}}-{\displaystyle \frac{y}{1+y}}={\displaystyle \frac{x-y}{(1+x)(1+y)}}\geqq 0$$である。

(2)

(2) (i)

$A,B\geqq 0$ に対して$${\displaystyle \frac{A}{1+A}}+{\displaystyle \frac{B}{1+B}}-{\displaystyle \frac{A+B}{1+A+B}}={\displaystyle \frac{AB(A+B+2)}{(1+A)(1+B)(1+A+B)}}\geqq 0$$が成り立つ。これをまず $A=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid },B=\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$、次に $A=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid },B=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$ に適用すると$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{1+\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }}{1+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}{1+\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}}\geqq {\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}{1+\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}}\mathrm{.}$$三角不等式より $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\geqq \mathrm{\mid }x+y+z\mathrm{\mid }$ であり、(1)を用いれば右辺は$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x+y+z\mathrm{\mid }}{1+\mathrm{\mid }x+y+z\mathrm{\mid }}}$$以上である。

(2) (ii)

2変数の式で等号となるのは $AB=0$ のときである。2回の適用で同時に等号となるには、$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$ のうち2つ以上が0でなければならない。この条件なら三角不等式でも等号になる。したがって等号成立条件は$$x,y,z\text{ のうち少なくとも2つが0}$$である。