九州大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

まず $$g_n(x)={\int }_0^x(x-y{)}^{n-1}(y-1)dy$$ を計算する。$u=x-y$ と見ると $${\int }_0^x(x-y{)}^{n-1}ydy={\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}}$$ であり、また $${\int }_0^x(x-y{)}^{n-1}dy={\displaystyle \frac{x^n}{n}}$$ である。したがって $$g_n(x)={\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}}-{\displaystyle \frac{x^n}{n}}={\displaystyle \frac{x^n(x-n-1)}{n(n+1)}}$$ である。

これを微分すると $$g_n^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x^{n-1}(x-n)}{n}}$$ となる。 $n=1$ のとき $g_1^{\mathrm{\prime }}(x)=x-1$ である。したがって $x<1$ で減少、$x>1$ で増加し、$x=1$ で極小値 $g_1(1)=-\frac{1}{2}$ をとる。 $n\geqq 2$ で $n$ が奇数のとき、$n-1$ は偶数なので $x^{n-1}\geqq 0$ である。したがって $g_n^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は $x-n$ の符号で決まり、$x<n$ で減少、$x>n$ で増加する。$x=0$ でも導関数は0になるが、符号は変わらないので極値ではない。よって $x=n$ で極小値 $$g_n(n)={\displaystyle \frac{n^n(n-n-1)}{n(n+1)}}=-{\displaystyle \frac{n^{n-1}}{n+1}}$$ をとる。 $n\geqq 2$ で $n$ が偶数のとき、$n-1$ は奇数なので $x^{n-1}$ の符号は $x$ の符号と同じである。したがって $g_n^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は $x(x-n)$ の符号で決まる。すなわち $$x<0\text{ で増加},0<x<n\text{ で減少},x>n\text{ で増加}$$ である。よって $x=0$ で極大値 $g_n(0)=0$ をとり、$x=n$ で極小値 $$g_n(n)=-{\displaystyle \frac{n^{n-1}}{n+1}}$$ をとる。

部分積分を1回行って $g_n(x)$ を閉じた多項式にする。導関数を因数分解し、$n=1$ と $n\geqq 2$ の偶奇に分けて符号変化を読む。

$$g_n(x)={\int }_0^x(x-y{)}^{n-1}(y-1)dy$$で、$u=y-1$、$dv=(x-y{)}^{n-1}dy$ として部分積分する。$v=-(x-y{)}^n\mathrm{/}n$ だから$$g_n(x)=-{\displaystyle \frac{x^n}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n}}{\int }_0^x(x-y{)}^{n}dy={\displaystyle \frac{x^n(x-n-1)}{n(n+1)}}\mathrm{.}$$したがって$$g_n^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x^{n-1}(x-n)}{n}}\mathrm{.}$$$n=1$ のとき

$g_1^{\mathrm{\prime }}(x)=x-1$ なので、$x<1$ で減少、$x>1$ で増加する。$x=1$ で極小値$$g_1(1)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$をとる。

$n\geqq 2$ が奇数のとき

$x^{n-1}\geqq 0$ であり、符号は $x-n$ で決まる。よって $x<n$ で減少、$x>n$ で増加し、$x=n$ で極小値$$g_n(n)=-{\displaystyle \frac{n^{n-1}}{n+1}}$$をとる。$x=0$ では符号が変わらない。

$n\geqq 2$ が偶数のとき

符号は $x(x-n)$ と同じである。よって$$(-\mathrm{\infty },0)\text{ で増加},(0,n)\text{ で減少},(n,\mathrm{\infty })\text{ で増加}\mathrm{.}$$$x=0$ で極大値0、$x=n$ で極小値$$-{\displaystyle \frac{n^{n-1}}{n+1}}$$をとる。