九州大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 複素数平面・方程式・不等式理系数学 第5問(b)

(1)

因数分解すると $$x^3-(2k+1)x^2+(4k^2+2k)x-4k^2=(x-1)(x^2-2kx+4k^2)$$ である。したがって解は $$z_1=1,z_2=k(1+\sqrt{3}i),z_3=k(1-\sqrt{3}i)$$ と表せる。

複素数平面上では、これらは $(1,0),(k,\sqrt{3}k),(k,-\sqrt{3}k)$ である。$k\mathrm{\ne }0$ のとき、後の2点は直線 $x=k$ 上の異なる2点なので、3点が一直線上にあるには $1=k$ が必要である。また $k=0$ のときは $z_2=z_3=0$ となり、3点はいずれも実軸上にある。よって $k=0,1$ である。

(2) $k=0$ では三角形にならないので除いて考える。3点は実軸に関して対称であり、$\mathrm{\mid }{z}_2-z_1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{z}_3-z_1\mathrm{\mid }$ である。したがって直角三角形になるなら、直角は $z_1$ の位置にある。そこで $$z_2-z_1=(k-1)+\sqrt{3}ki,z_3-z_1=(k-1)-\sqrt{3}ki$$ に対応する2つのベクトルの内積を0にする。すなわち $(k-1{)}^2-3k^2=0$ である。整理して $2k^2+2k-1=0$ だから $$k={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}}$$ である。

(3)

正六角形の6頂点はすべて原点から同じ距離にある。したがって $\mathrm{\mid }{z}_1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{z}_2\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{z}_3\mathrm{\mid }$ が必要である。$\mathrm{\mid }{z}_1\mathrm{\mid }=1$、$\mathrm{\mid }{z}_2\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{z}_3\mathrm{\mid }=2\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }$ だから $2\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }=1$ より $k=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$ である。 $k=1\mathrm{/}2$ のとき、回転前の偏角は $0,{\displaystyle \frac{\pi }{3}},-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ である。これを $\theta =\pi \mathrm{/}2$ だけ回転すると、偏角は ${\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{5\pi }{6}},{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ となり、共役な点を合わせて正六角形の頂点になる。よって $$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ である。 $k=-1\mathrm{/}2$ のとき、回転前の偏角は $0,{\displaystyle \frac{2\pi }{3}},-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ である。共役な点と合わせて60度間隔の6点にするには、これらを正六角形の交互の頂点の位置に置けばよい。$0\leqq \theta \leqq \pi$ で調べると $$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$$ である。

したがって求める組は$$(k,\theta )=(\frac{1}{2},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}),(-\frac{1}{2},{\displaystyle \frac{\pi }{6}}),(-\frac{1}{2},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}),(-\frac{1}{2},{\displaystyle \frac{5\pi }{6}})$$である。

実軸に関して対称な3根の配置

3根を実座標へ直し、三角形の符号付き面積と3辺の長さの2乗で(1)(2)を処理する。(3)は絶対値をそろえた後、偏角の集合が正六角形の6方向と一致する回転角を列挙する。

3点は$$z_1=(1,0),z_2=(k,\sqrt{3}k),z_3=(k,-\sqrt{3}k)$$である。

(1)

三角形の符号付き面積の2倍は $-2\sqrt{3}k(k-1)$ である。したがって一直線条件は$$k=0,1.$$(2)

$k=0$ は三角形を作らない。等しい2辺の長さの2乗を$$L^2=(k-1{)}^2+3k^2$$とすると、底辺の長さの2乗は $12k^2$ である。直角三角形条件は$$12k^2=2L^2$$であり、$$2k^2+2k-1=0.$$よって$$k={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}$$(3)

原点からの距離が等しい条件は $2\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }=1$ なので $k=\pm 1\mathrm{/}2$。

$k=1\mathrm{/}2$ の偏角は $0,\pm \pi \mathrm{/}3$。共役を取った後に6方向を得る回転角は$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{.}$$$k=-1\mathrm{/}2$ の偏角は $0,\pm 2\pi \mathrm{/}3$。$0\leqq \theta \leqq \pi$ で正六角形の6方向になるのは$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\mathrm{.}$$したがって求める組は$$({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}),(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{6}}),(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}),(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{5\pi }{6}})\mathrm{.}$$