九州大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 数列・整数文系数学 第3問(a)

(1) $a_1=2>0$ である。また任意の実数 $x$ について $$x^2-x+1={(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}>0$$ である。したがって $a_n>0$ なら $a_{n+1}=a_n^2-a_n+1>0$ である。数学的帰納法により、すべての $n$ について $a_n>0$ である。

(2) $P_n=a_1{a}_2\cdots a_n$ とする。まず $$a_2=a_1^2-a_1+1=4-2+1=3=P_1+1$$ である。

ある $n$ で $a_n=P_{n-1}+1$ が成り立つと仮定する。このとき $$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1=a_n(a_n-1)+1$$ であり、仮定より $a_n-1=P_{n-1}$ だから $$a_{n+1}=a_n{P}_{n-1}+1=P_n+1$$ である。よって数学的帰納法により、各 $n$ について $a_{n+1}=P_n+1$ が成り立つ。

(3)

順に計算すると $$a_1=2,a_2=3,a_3=7,a_4=43$$ である。したがって $S_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$ であり、$$S_2={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$$ である。また $$S_3={\displaystyle \frac{5}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{7}}={\displaystyle \frac{41}{42}}$$ であり、$$S_4={\displaystyle \frac{41}{42}}+{\displaystyle \frac{1}{43}}={\displaystyle \frac{1805}{1806}}$$ である。

(4)

便宜上 $P_0=1$ とおく。(2)より $k\geqq 1$ について $a_k=P_{k-1}+1$ であるから $a_k-1=P_{k-1}$ である。すると$${\displaystyle \frac{1}{P_{k-1}}}-{\displaystyle \frac{1}{P_k}}={\displaystyle \frac{P_k-P_{k-1}}{P_{k-1}{P}_k}}={\displaystyle \frac{P_{k-1}(a_k-1)}{P_{k-1}{P}_k}}={\displaystyle \frac{1}{a_k}}$$となる。

よって$$S_n=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{a_k}}=\sum _{k=1}^n({\displaystyle \frac{1}{P_{k-1}}}-{\displaystyle \frac{1}{P_k}})$$であり、途中の項が打ち消し合って $S_n=1-{\displaystyle \frac{1}{P_n}}$ である。

差 $a_{n+1}-1=a_n(a_n-1)$ を連鎖させる。
この式から積の公式を直接作り、逆数は
$1\mathrm{/}(a_k-1)-1\mathrm{/}(a_{k+1}-1)$ に分解して望遠和にする。

(1) $$a_{n+1}={(a_n-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}>0$$であるから、帰納法により全ての $a_n$ は正である。

(2)
漸化式から$$a_{n+1}-1=a_n(a_n-1)$$を得る。$a_1-1=1$ なので、この関係を順次用いると$$a_{n+1}-1=a_n{a}_{n-1}\cdots a_1=P_n\mathrm{.}$$よって $a_{n+1}=P_n+1$ である。

(3) $$a_1,a_2,a_3,a_4=2,3,7,43$$ だから$$S_1={\displaystyle \frac{1}{2}},S_2={\displaystyle \frac{5}{6}},S_3={\displaystyle \frac{41}{42}},S_4={\displaystyle \frac{1805}{1806}}\mathrm{.}$$(4)
上の差の関係から$${\displaystyle \frac{1}{a_k-1}}-{\displaystyle \frac{1}{a_{k+1}-1}}={\displaystyle \frac{a_k}{a_k(a_k-1)}}-{\displaystyle \frac{1}{a_k(a_k-1)}}={\displaystyle \frac{1}{a_k}}\mathrm{.}$$したがって$$S_n={\displaystyle \frac{1}{a_1-1}}-{\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}-1}}=1-{\displaystyle \frac{1}{P_n}}\mathrm{.}$$