九州大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験 数と式・方程式・不等式文系数学 第3問(b)

三つの数はいずれも正である。したがって正の数どうしの比較では，二乗または三乗して比べても大小関係は変わらない。

まず $$A={\displaystyle \frac{a+2b}{3}},G=\sqrt{ab}$$ とおく。すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A^2-G^2}& {\displaystyle ={\left({\displaystyle \frac{a+2b}{3}}\right)}^2-ab}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^2+4ab+4b^2-9ab}{9}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(b-a)(4b-a)}{9}}\mathrm{.}}\end{array}$$ $0<a<b$ より $b-a>0$，また $4b-a>3b>0$ であるから $A^2-G^2>0.$ 正の数どうしなので $$\sqrt{ab}<{\displaystyle \frac{a+2b}{3}}$$ である。

次に $$C=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{b(a^2+ab+b^2)}{3}}}$$ とおく。$A,C>0$ なので三乗して比べる。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 27(C^3-A^3)}& {\displaystyle =9b(a^2+ab+b^2)-(a+2b{)}^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9a^{2}b+9a{b}^2+9b^3-(a^3+6a^{2}b+12a{b}^2+8b^3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-a^3+3a^{2}b-3a{b}^2+b^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(b-a{)}^3\mathrm{.}}\end{array}$$ $b-a>0$ より $C^3-A^3>0$ である。したがって $${\displaystyle \frac{a+2b}{3}}<\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{b(a^2+ab+b^2)}{3}}}\mathrm{.}$$ 以上より $$\sqrt{ab}<{\displaystyle \frac{a+2b}{3}}<\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{b(a^2+ab+b^2)}{3}}}$$ である。

3つの正数を $a$ で割り、$t=b\mathrm{/}a>1$ の一変数にする。二乗差と三乗差がそれぞれ $t-1$ を因数にもつことを示して比較する。

$t=b\mathrm{/}a$ とおくと $t>1$ である。3数を正数 $a$ で割ると$$\sqrt{t},{\displaystyle \frac{1+2t}{3}},\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{t(1+t+t^2)}{3}}}$$を比べればよい。

まず$${\left({\displaystyle \frac{1+2t}{3}}\right)}^2-t={\displaystyle \frac{(t-1)(4t-1)}{9}}>0$$より$$\sqrt{t}<{\displaystyle \frac{1+2t}{3}}\mathrm{.}$$次に$$9t(1+t+t^2)-(1+2t{)}^3=(t-1{)}^3>0$$だから$${\displaystyle \frac{1+2t}{3}}<\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{t(1+t+t^2)}{3}}}\mathrm{.}$$元へ戻して$$\sqrt{ab}<{\displaystyle \frac{a+2b}{3}}<\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{b(a^2+ab+b^2)}{3}}}\mathrm{.}$$