九州大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $f(x)=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$ より $f^{\mathrm{\prime }}(x)=1-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\mathrm{.}$ 傾きが $a$ であるためには $1-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}=a$ である。これは $$x^2={\displaystyle \frac{1}{1-a}}$$ を意味するので，接点が二つ存在するのは $a<1$ のときである。ここで $$c={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-a}}}>0$$ とおくと，接点の $x$ 座標は $x=c,-c$ である。また $a=1-{\displaystyle \frac{1}{c^2}}$ である。 $x=c$ での接線は $y=a(x-c)+c+{\displaystyle \frac{1}{c}}$ である。切片を整理すると $$c+{\displaystyle \frac{1}{c}}-ac=c+{\displaystyle \frac{1}{c}}-(1-{\displaystyle \frac{1}{c^2}})c={\displaystyle \frac{2}{c}}$$ だから $$y=(1-{\displaystyle \frac{1}{c^2}})x+{\displaystyle \frac{2}{c}}\mathrm{.}$$ 同様に $x=-c$ での接線は $$y=(1-{\displaystyle \frac{1}{c^2}})x-{\displaystyle \frac{2}{c}}\mathrm{.}$$ したがって二つの接線は$$y=(1-{\displaystyle \frac{1}{c^2}})x\pm {\displaystyle \frac{2}{c}},c={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-a}}}$$である。

(2)

第1象限の接点は $x=c$ である。曲線と接線の差は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (x+{\displaystyle \frac{1}{x}})-\{(1-{\displaystyle \frac{1}{c^2}})x+{\displaystyle \frac{2}{c}}\}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{x}{c^2}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{c}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって求める面積は$$S={\int }_c^{2c}({\displaystyle \frac{x}{c^2}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{c}})dx\mathrm{.}$$計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{x^2}{2c^2}}+\log x-{\displaystyle \frac{2x}{c}}]}_c^{2c}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2+\log (2c)-4)-({\displaystyle \frac{1}{2}}+\log c-2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\log 2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって $S=\log 2-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

(3)

二つの接線は平行で，傾きは $1-{\displaystyle \frac{1}{c^2}}$ である。切片の差は $4\mathrm{/}c$ だから，二直線間の距離は $$D={\displaystyle \frac{4\mathrm{/}c}{\sqrt{1+{(1-{\displaystyle \frac{1}{c^2}})}^2}}}\mathrm{.}$$ ここで $u={\displaystyle \frac{1}{c^2}}=1-a$ とおくと，$u>0$ であり $$D^2={\displaystyle \frac{16u}{(1-u{)}^2+1}}={\displaystyle \frac{16u}{u^2-2u+2}}\mathrm{.}$$ 右辺を $G(u)$ とおくと$$G^{\mathrm{\prime }}(u)={\displaystyle \frac{16\{(u^2-2u+2)-u(2u-2)\}}{(u^2-2u+2{)}^2}}={\displaystyle \frac{16(2-u^2)}{(u^2-2u+2{)}^2}}\mathrm{.}$$したがって $u>0$ では $u=\sqrt{2}$ で最大となる。これは $a=1-\sqrt{2}$ に対応する。このとき $$D_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}^2={\displaystyle \frac{16\sqrt{2}}{(1-\sqrt{2}{)}^2+1}}=8+8\sqrt{2}\mathrm{.}$$ よって$$D={\displaystyle \frac{4\mathrm{/}c}{\sqrt{1+a^2}}},D_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\sqrt{8+8\sqrt{2}}$$である。

接点を $x=\pm c$ とおき、接線を $c$ で統一して表す。面積では $x=ct$ と置いて $c$ を消去し、二直線間距離は $u=1\mathrm{/}{c}^2$ の有理式にして最大化する。

(1)
$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1-1\mathrm{/}{x}^2=a$ より$$c={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-a}}}>0,x=\pm c\mathrm{.}$$接線は$$y=ax\pm {\displaystyle \frac{2}{c}}\mathrm{.}$$(2)
正の接点側で $x=ct$ とおく。曲線と接線の差は$${\displaystyle \frac{x}{c^2}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{c}}={\displaystyle \frac{1}{c}}(t+{\displaystyle \frac{1}{t}}-2)\mathrm{.}$$従って$$S={\int }_1^2(t+{\displaystyle \frac{1}{t}}-2)dt=\log 2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$(3)
平行線間の距離は$$D={\displaystyle \frac{4\mathrm{/}c}{\sqrt{1+a^2}}}\mathrm{.}$$$u=1\mathrm{/}{c}^2=1-a>0$ とすると$$D^2={\displaystyle \frac{16u}{u^2-2u+2}}\mathrm{.}$$微分すれば増減の境は $u=\sqrt{2}$ であり、$$a=1-\sqrt{2},D_{\max }=\sqrt{8+8\sqrt{2}}\mathrm{.}$$