九州大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $a=2^{m}b$ とし、$b$ は正の奇数であるとする。$a$ の正の約数は、$b$ の正の約数 $d$ と $2^i(0\leqq i\leqq m)$ を用いて $2^{i}d$ とただ1通りに表される。

したがって約数の和は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(a)}& {\displaystyle =(1+2+2^2+\cdots +2^m)f(b)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2^{m+1}-1)f(b)}\end{array}$$である。

(2) $a=pq$、$p\geqq 2$ とする。このとき $q$ と $pq$ はどちらも $a$ の正の約数であり、しかも相異なる。よって $f(a)\geqq q+pq=(p+1)q$ である。

等号が成り立つとき、$a$ の正の約数は $q$ と $pq$ だけでなければならない。もし $q>1$ なら $1$ も正の約数であり、$1,q,pq$ は少なくとも3つの相異なる約数になるので等号は成り立たない。したがって等号成立には $q=1$ が必要である。 $q=1$ のとき $a=p$ である。等号 $f(p)=p+1$ は、$p$ の正の約数が $1$ と $p$ だけであることと同値であるから、$p$ が素数であることと同値である。

よって等号が成り立つのは $$q=1\text{ かつ }p\text{ が素数}$$ のときに限る。

(3) $a,b$ は正の偶数なので $a=2^{m}r,b=2^{n}s$ と書いたとき $m,n\geqq 1$、$r,s$ は正の奇数である。

(1) より $$f(a)=(2^{m+1}-1)f(r),f(b)=(2^{n+1}-1)f(s)$$ である。ここで $$A=2^{m+1}-1,B=2^{n+1}-1$$ とおく。条件 $f(a)=2b$、$f(b)=2a$ は $$Af(r)=2^{n+1}s,Bf(s)=2^{m+1}r$$ となる。 $A,B$ は奇数である。したがって $A$ は $2^{n+1}$ と互いに素なので、上の第一式から $A\mid s$ が従う。同様に第二式から $B\mid r$ が従う。そこで $s=A{s}_0,r=B{r}_0$ とおく。ただし $r_0,s_0$ は正の整数である。

これを上の式に代入すると $$f(r)=2^{n+1}{s}_0=(B+1)s_0,f(s)=2^{m+1}{r}_0=(A+1)r_0$$ となる。

ここで(2)を $r=B{r}_0$ に適用する。$B\geqq 3$ であるから $f(r)\geqq (B+1)r_0$ である。ところが $f(r)=(B+1)s_0$ なので $s_0\geqq r_0$ を得る。

同様に、(2)を $s=A{s}_0$ に適用すると $f(s)\geqq (A+1)s_0$ であり、$f(s)=(A+1)r_0$ だから $r_0\geqq s_0$ を得る。よって $r_0=s_0$ であり、上の2つの不等式はいずれも等号で成り立っている。

(2) の等号条件より、$r=B{r}_0$ については $r_0=1$ かつ $B$ が素数、$s=A{s}_0$ については $s_0=1$ かつ $A$ が素数である。したがって $$r=2^{n+1}-1,s=2^{m+1}-1$$ であり、さらに $r,s$ は素数である。

$$f(a)\mathrm{/}a=\sum _{d\mid a}1\mathrm{/}d$$を使って約数和の下界と等号条件を得る。
(3)では2つの奇数部分が互いのメルセンヌ型因子を含むことを示し、
2つの下界が同時に等号となることから結論する。

(1)
$2^{m}b$ の約数は $$2^{j}d(0\leqq j\leqq m,d\mid b)$$ と一意に表せるので$$f(2^{m}b)=\sum _{d\mid b}d\sum _{j=0}^m{2}^j=(2^{m+1}-1)f(b)\mathrm{.}$$(2)
$a=pq$ に対して$${\displaystyle \frac{f(a)}{a}}=\sum _{d\mid a}{\displaystyle \frac{1}{d}}\geqq 1+{\displaystyle \frac{1}{p}}\mathrm{.}$$よって $f(a)\geqq (p+1)q$。等号なら約数は $1,p$ だけなので
$q=1$ かつ $p$ は素数であり、逆も成立する。

(3) $$A=2^{m+1}-1,B=2^{n+1}-1$$とおく。(1)と条件から$$Af(r)=2^{n+1}s,Bf(s)=2^{m+1}r\mathrm{.}$$$A$ は $2^{n+1}$ と、$B$ は $2^{m+1}$ と互いに素だから
$s=Au,r=Bv$ と書ける。すると$$f(r)=(B+1)u,f(s)=(A+1)v\mathrm{.}$$(2)を $r=Bv,s=Au$ に適用して$$(B+1)u\geqq (B+1)v,(A+1)v\geqq (A+1)u\mathrm{.}$$よって $u=v$ で両方が等号となる。等号条件から
$u=v=1$、$A,B$ は素数である。したがって$$r=2^{n+1}-1,s=2^{m+1}-1$$で、いずれも素数である。