九州大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $y>0$ を固定し、$$H(x)=x\log x-x\log y-x+y$$ とおく。$x>0$ で $$H^{\mathrm{\prime }}(x)=\log x+1-\log y-1=\log {\displaystyle \frac{x}{y}}$$ である。

したがって $0<x<y$ では $H^{\mathrm{\prime }}(x)<0$、$x>y$ では $H^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ である。よって $H(x)$ は $x=y$ で最小値をとる。その値は $$H(y)=y\log y-y\log y-y+y=0$$ である。したがって、すべての正の実数 $x,y$ に対して $x\log x-x\log y-x+y\geqq 0$ が成り立つ。

(2)

閉区間 $[a,b]$ 上で $f(t)>0$、$g(t)>0$ である。任意の $t$ に対して(1)を $x=f(t),y=g(t)$ として用いると $f(t)\log f(t)-f(t)\log g(t)-f(t)+g(t)\geqq 0$ である。

これを $t=a$ から $t=b$ まで積分すると$${\int }_a^{b}f(t)\log f(t)dt-{\int }_a^{b}f(t)\log g(t)dt-{\int }_a^{b}f(t)dt+{\int }_a^{b}g(t)dt\geqq 0$$となる。仮定より$${\int }_a^{b}f(t)dt={\int }_a^{b}g(t)dt$$であるから、後ろの2項は打ち消し合う。したがって$${\int }_a^{b}f(t)\log f(t)dt\geqq {\int }_a^{b}f(t)\log g(t)dt$$が成り立つ。変数名を $x$ に戻せば、求める不等式である。

(3)

定数関数 $g(x)=M$ を考える。$M$ の定義より$${\int }_a^{b}g(x)dx=(b-a)M={\int }_a^{b}f(x)dx$$であるから、(2)を適用できる。

すると$${\int }_a^{b}f(x)\log f(x)dx\geqq {\int }_a^{b}f(x)\log Mdx$$である。右辺は$${\int }_a^{b}f(x)\log Mdx=\log M{\int }_a^{b}f(x)dx=\log M\cdot (b-a)M$$である。よって$${\int }_a^{b}f(x)\log f(x)dx\geqq (b-a)M\log M$$となり、両辺を $b-a>0$ で割って$${\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\int }_a^{b}f(x)\log f(x)dx\geqq M\log M$$を得る。

$\log u\leqq u-1$ を1変数の増減で証明し、(1)を直ちに導く。
(2)は点ごとの不等式を積分し、(3)は定数関数を比較対象に選ぶ。

正の実数 $u$ に対し$$\varphi (u)=u-1-\log u$$とおくと ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(u)=1-1\mathrm{/}u$ だから、$\varphi$ は $u=1$ で最小値0をとる。
よって$$\log u\leqq u-1$$である。

(1)
$u=y\mathrm{/}x$ として上式を使うと$$\log {\displaystyle \frac{y}{x}}\leqq {\displaystyle \frac{y}{x}}-1.$$両辺に $x>0$ を掛けて移項すれば$$x\log x-x\log y-x+y\geqq 0.$$(2)
各 $t\in [a,b]$ で (1) を $x=f(t),y=g(t)$ に適用して積分すると$${\int }_a^{b}f\log f-{\int }_a^{b}f\log g\geqq {\int }_a^b(f-g)=0.$$よって所要の不等式を得る。

(3)
$g(x)\equiv M$ とおけば$${\int }_a^{b}g(x)dx=(b-a)M={\int }_a^{b}f(x)dx\mathrm{.}$$(2)から$${\int }_a^{b}f(x)\log f(x)dx\geqq \log M{\int }_a^{b}f(x)dx=(b-a)M\log M\mathrm{.}$$$b-a$ で割れば題意の式である。