九州大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)

与えられた式から$$y^2-x^2={\left({\displaystyle \frac{e^t+e^{-t}}{2}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{2}}\right)}^2=1$$である。さらに $t\geqq 0$ では $x\geqq 0$、$y>0$ であるから $$y=\sqrt{x^2+1}(x\geqq 0)$$ である。

(2)

時刻 $t$ における点 $P$ を $$P=(a,b),a={\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{2}},b={\displaystyle \frac{e^t+e^{-t}}{2}}$$ とおく。$t>0$ のとき直線 $OP$ は $$y={\displaystyle \frac{b}{a}}x$$ である。

したがって $A(t)$ は$$A(t)={\int }_0^a(\sqrt{x^2+1}-{\displaystyle \frac{b}{a}}x)dx$$である。ここで$${\int }_0^a\sqrt{x^2+1}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}(a\sqrt{a^2+1}+\log (a+\sqrt{a^2+1}))$$を用いる。$$b=\sqrt{a^2+1}$$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A(t)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}(ab+\log (a+b))-{\displaystyle \frac{b}{a}}\cdot \frac{a^2}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\log (a+b)\mathrm{.}}\end{array}$$さらに $a+b=e^t$ であるから $$A(t)={\displaystyle \frac{t}{2}}$$ である。$t=0$ のときも極限、または図形がつぶれることから同じ式が成り立つ。

次に、三角形 $OMP$ の面積は、底辺 $OM=1$ と点 $P$ の $y$ 軸からの距離 $a$ を用いて ${\displaystyle \frac{a}{2}}$ である。この三角形は、曲線 $C$ によって面積 $A(t)$ の部分と $S(t)$ の部分に分かれるので $$A(t)+S(t)={\displaystyle \frac{a}{2}}$$ である。よって $$S(t)={\displaystyle \frac{a}{2}}-{\displaystyle \frac{t}{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}(e^t-e^{-t})-{\displaystyle \frac{t}{2}}$$ となる。したがって $$A(t)={\displaystyle \frac{t}{2}},S(t)={\displaystyle \frac{1}{4}}(e^t-e^{-t})-{\displaystyle \frac{t}{2}}$$ である。

(3)

(2) より $$A(t)-S(t)=t-{\displaystyle \frac{1}{4}}(e^t-e^{-t})$$ である。これを微分すると $$(A-S{)}^{\mathrm{\prime }}(t)=1-{\displaystyle \frac{1}{4}}(e^t+e^{-t})$$ となる。 $(A-S{)}^{\mathrm{\prime }}(t)=0$ は $e^t+e^{-t}=4$ と同値である。$u=e^t$ とおくと $u\geqq 1$ であり $u+{\displaystyle \frac{1}{u}}=4$ すなわち $u^2-4u+1=0$ である。したがって $u=2+\sqrt{3}$ を得る。 $t=0$ では $(A-S{)}^{\mathrm{\prime }}(0)=1-1\mathrm{/}2>0$ であり、上の点を過ぎると $e^t+e^{-t}$ はさらに大きくなるので導関数は負になる。よって最大となる時刻は $t=\log (2+\sqrt{3})$ である。

$x=\sinh t,y=\cosh t$ と見て曲線を双曲線と同定する。
原点と曲線弧で囲む面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\int (xdy-ydx)$$で直接求め、
残りの面積は三角形との差として出す。

(1)
与式から$$y^2-x^2=1,y>0,$$よって$$y=\sqrt{x^2+1}\mathrm{.}$$(2)
$x=\sinh u,y=\cosh u$ であり
$x^{\mathrm{\prime }}=\cosh u,y^{\mathrm{\prime }}=\sinh u$ だから、
原点と曲線弧で囲まれる有向面積の絶対値は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A(t)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid {\int }_0^t(x{y}^{\mathrm{\prime }}-y{x}^{\mathrm{\prime }})du\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid {\int }_0^t({\sinh }^{2}u-{\cosh }^{2}u)du\mid ={\displaystyle \frac{t}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$三角形 $OMP$ の面積は $x(t)\mathrm{/}2$ で、これが $A+S$ に等しい。
したがって$$S(t)={\displaystyle \frac{1}{4}}(e^t-e^{-t})-{\displaystyle \frac{t}{2}}\mathrm{.}$$(3)$$A-S=t-{\displaystyle \frac{1}{4}}(e^t-e^{-t})$$を微分すると$$(A-S{)}^{\mathrm{\prime }}=1-{\displaystyle \frac{1}{4}}(e^t+e^{-t})\mathrm{.}$$$e^t+e^{-t}$ は $t\geqq 0$ で増加するため、導関数は1度だけ
正から負へ変わる。$u=e^t\geqq 1$ として$$u+{\displaystyle \frac{1}{u}}=4$$を解けば $u=2+\sqrt{3}$。よって最大時刻は$$t=\log (2+\sqrt{3})\mathrm{.}$$