九州大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $(x_1,x_2)$ は全部で $6^2$ 通りある。$x_1<x_2$ となるには、$1$ から $6$ までの目から異なる2つを選び、小さい方を $x_1$、大きい方を $x_2$ とすればよい。したがって有利な場合は ${}_6{\mathrm{C}}_2=15$ 通りである。よって求める確率は $${\displaystyle \frac{15}{6^2}}={\displaystyle \frac{15}{36}}={\displaystyle \frac{5}{12}}$$ である。

(2)
同様に、$x_1<x_2<x_3$ となる列は、$1$ から $6$ までの目から異なる3つを選べば小さい順にただ1通りに並ぶ。したがって有利な場合は ${}_6{\mathrm{C}}_3=20$ 通りである。全部で $6^3$ 通りなので、求める確率は $${\displaystyle \frac{20}{6^3}}={\displaystyle \frac{20}{216}}={\displaystyle \frac{5}{54}}$$ である。

(3) $x_2=j$ と固定する。条件 $x_1<x_2$ より、$x_1$ は $1,2,\dots ,j-1$ の $j-1$ 通りである。また条件 $x_2\geqq x_3$ より、$x_3$ は $1,2,\dots ,j$ の $j$ 通りである。したがって、$(x_1,x_2,x_3)$ について有利な場合は $$\sum _{j=1}^{6}j(j-1)=\sum _{j=1}^6(j^2-j)=91-21=70$$ 通りである。$x_4$ は条件に関係しないので、確率は $(x_1,x_2,x_3)$ だけで数えてよく、$${\displaystyle \frac{70}{6^3}}={\displaystyle \frac{35}{108}}$$ である。

(4)
確率変数を $k$ とする。正の整数値をとる確率変数について $$E(k)=P(k\geqq 1)+P(k\geqq 2)+P(k\geqq 3)+P(k\geqq 4)$$ が成り立つ。ここで $k\geqq 1$ は常に成り立つので $P(k\geqq 1)=1$ である。また $k\geqq 2$ は、1回目では増加が止まらないこと、すなわち $x_1<x_2$ と同値である。したがって (1) より $P(k\geqq 2)={\displaystyle \frac{5}{12}}$ である。

同様に、$k\geqq 3$ は $x_1<x_2<x_3$ と同値であるから、(2) より $P(k\geqq 3)={\displaystyle \frac{5}{54}}$ である。さらに $k\geqq 4$ となるのは、定義より $x_1<x_2<x_3<x_4$ の場合である。この場合の数は ${}_6{\mathrm{C}}_4=15$ 通りなので、$$P(k\geqq 4)={\displaystyle \frac{15}{6^4}}={\displaystyle \frac{5}{432}}$$ である。

よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(k)}& {\displaystyle =1+{\displaystyle \frac{5}{12}}+{\displaystyle \frac{5}{54}}+{\displaystyle \frac{5}{432}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{432+180+40+5}{432}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{657}{432}}={\displaystyle \frac{73}{48}}\mathrm{.}}\end{array}$$

(1) 〜(3)は増加列を直接数え、(4)は$k=1,2,3,4$の確率分布から期待値を求める。

(1)
異なる2目を小さい順に置くので$$P(x_1<x_2)={\displaystyle \frac{{}_6{\mathrm{C}}_2}{6^2}}={\displaystyle \frac{5}{12}}$$ である。

(2)
同様に $$P(x_1<x_2<x_3)={\displaystyle \frac{{}_6{\mathrm{C}}_3}{6^3}}={\displaystyle \frac{5}{54}}$$ である。

(3)
$x_2=j$ と固定して数えると$$P(x_1<x_2,x_2\geqq x_3)={\displaystyle \frac{35}{108}}$$ である。

(4)
$k$ の分布を直接作る。$k=3$ の場合の数は、最大の目ごとに数えて $105$、
$k=4$ の場合の数は ${}_6{\mathrm{C}}_4=15$ なので$$(P(k=1),P(k=2),P(k=3),P(k=4))=({\displaystyle \frac{7}{12}},{\displaystyle \frac{35}{108}},{\displaystyle \frac{35}{432}},{\displaystyle \frac{5}{432}})\mathrm{.}$$4確率の和は $1$ であり、全事象を尽くす。したがって$$E(k)={\displaystyle \frac{7}{12}}+2\cdot {\displaystyle \frac{35}{108}}+3\cdot {\displaystyle \frac{35}{432}}+4\cdot {\displaystyle \frac{5}{432}}={\displaystyle \frac{73}{48}}\mathrm{.}$$