九州大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)

左端が赤色で、色の変化がちょうど1回起きるとする。変化する境目は、1番目と2番目の間から $(n-1)$ 番目と $n$ 番目の間までの $n-1$ 通りである。

左端を赤に固定し、変化する境目を1つ決めれば、その境目までは赤、その後は青となり、並びは一意に決まる。全体の並びは $2^n$ 通りなので、求める確率は ${\displaystyle \frac{n-1}{2^n}}$ である。

(2)

余事象を考える。色の変化が0回の並びは、すべて赤またはすべて青の2通りである。

色の変化が1回の並びは、左端の色が2通り、変化する境目が $n-1$ 通りなので $2(n-1)$ 通りである。したがって、色の変化が0回または1回である並びは $2+2(n-1)=2n$ 通りである。

よって、色の変化が少なくとも2回起きる確率は $$1-{\displaystyle \frac{2n}{2^n}}=1-{\displaystyle \frac{n}{2^{n-1}}}$$ である。

(3)

隣り合う電球の境目は $n-1$ 個ある。このうちちょうど $m$ 個の境目で色が変わるように選ぶ方法は ${}_{n-1}{\mathrm{C}}_m$ 通りである。さらに左端の色は赤または青の2通りである。

左端の色と変化する境目が決まれば、隣へ進むたびに「変化する境目なら色を変える、変化しない境目なら同じ色にする」として全体の並びが一意に定まる。したがって該当する並びは $2{}_{n-1}{\mathrm{C}}_m$ 通りである。

全体は $2^n$ 通りなので、求める確率は$${\displaystyle \frac{2{}_{n-1}{\mathrm{C}}_m}{2^n}}={\displaystyle \frac{{}_{n-1}{\mathrm{C}}_m}{2^{n-1}}}(0\leqq m\leqq n-1)$$である。

(4) $j=1,2,\dots ,n-1$ について、$j$ 番目と $(j+1)$ 番目の電球の色が異なるとき $X_j=1$、同じとき $X_j=0$ とする。色の変化の回数を $X$ とすれば $$X=X_1+X_2+\cdots +X_{n-1}$$ である。

各境目について、隣り合う2個の色の組は $\text{赤赤},\text{ 赤青},\text{ 青赤},\text{ 青青}$ の4通りが等確率であり、そのうち色が変わるのは2通りである。よって $E(X_j)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。したがって$$E(X)=\sum _{j=1}^{n-1}E(X_j)=(n-1)\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{n-1}{2}}$$である。

$n-1$ 個の変化指示

左端の色と $n-1$ 個の境目の変化・不変との全単射を使う。変化回数は $\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(n-1,1\mathrm{/}2)$ に従うので、確率と期待値が一度に得られる。

(1)
左端を赤に固定し，変化する境目を一つ選ぶので$${\displaystyle \frac{n-1}{2^n}}\mathrm{.}$$(2)
変化回数を $X$ とする。左端の色と $n-1$ 個の境目の変化・不変を指定することは配色を指定することと同値だから$$X\sim \mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(n-1,{\displaystyle \frac{1}{2}})\mathrm{.}$$よって$$\mathrm{Pr}(X\geqq 2)=1-{\displaystyle \frac{{}_{n-1}{\mathrm{C}}_0+{}_{n-1}{\mathrm{C}}_1}{2^{n-1}}}=1-{\displaystyle \frac{n}{2^{n-1}}}\mathrm{.}$$(3)$$\mathrm{Pr}(X=m)={\displaystyle \frac{{}_{n-1}{\mathrm{C}}_m}{2^{n-1}}}(0\leqq m\leqq n-1)\mathrm{.}$$(4)$$E(X)=(n-1){\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{n-1}{2}}\mathrm{.}$$