九州大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)
A袋には赤玉2個，白玉5個が入っている。3個を同時に取り出して赤玉2個，白玉1個である確率は$$P_1={\displaystyle \frac{{}_2{\mathrm{C}}_2{}_5{\mathrm{C}}_1}{{}_7{\mathrm{C}}_3}}={\displaystyle \frac{5}{35}}={\displaystyle \frac{1}{7}}$$である。

(2)
A袋から取り出してB袋へ入れた3個のうち，赤玉の個数を $r$ とする。$r=0,1,2$ であり，この確率は$${\displaystyle \frac{{}_2{\mathrm{C}}_r{}_5{\mathrm{C}}_{3-r}}{{}_7{\mathrm{C}}_3}}$$である。このときB袋には赤玉が $m+r$ 個，白玉が $n+3-r$ 個，合計7個入っている。そこから2個同時に取り出して赤玉1個，白玉1個である条件付き確率は ${\displaystyle \frac{(m+r)(n+3-r)}{{}_7{\mathrm{C}}_2}}$ である。したがって全確率の和として$$P_2=\sum _{r=0}^2{\displaystyle \frac{{}_2{\mathrm{C}}_r{}_5{\mathrm{C}}_{3-r}}{{}_7{\mathrm{C}}_3}}\cdot {\displaystyle \frac{(m+r)(n+3-r)}{{}_7{\mathrm{C}}_2}}$$である。$n=4-m$ を代入して整理すると $$P_2=-{\displaystyle \frac{m^2}{21}}+{\displaystyle \frac{37m}{147}}+{\displaystyle \frac{34}{147}}$$ である。

(3) $m+n=4$ で $m,n$ は0以上の整数だから，$m=0,1,2,3,4$ を調べればよい。上の式から$$\begin{array}{cccccc}m& 0& 1& 2& 3& 4\\ P_2& {\displaystyle \frac{34}{147}}& {\displaystyle \frac{64}{147}}& {\displaystyle \frac{80}{147}}& {\displaystyle \frac{82}{147}}& {\displaystyle \frac{70}{147}}\end{array}$$である。最大は $m=3$ のときで，そのとき $n=1$ である。したがって $m=3,n=1$ である。