九州大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)

左端が赤色で、色の変化がちょうど1回起きるとする。このとき変化する境目は、1番目と2番目の間、2番目と3番目の間、$\dots$、5番目と6番目の間の5通りである。

左端の色を赤に固定し、変化する境目を1つ決めると、そこまでは赤、その後は青となり、並びは一意に決まる。したがって該当する並びは5通りである。全体の並びは $2^6=64$ 通りなので、求める確率は ${\displaystyle \frac{5}{64}}$ である。

(2)

「少なくとも2回」の余事象は、色の変化が0回または1回である。

色の変化が0回の並びは $\text{赤赤赤赤赤赤},\text{青青青青青青}$ の2通りである。

色の変化が1回の並びは、左端の色が2通り、変化する境目が5通りなので $2\cdot 5=10$ 通りである。したがって、変化が0回または1回である並びは $2+10=12$ 通りである。

よって、色の変化が少なくとも2回起きる確率は $$1-{\displaystyle \frac{12}{64}}={\displaystyle \frac{52}{64}}={\displaystyle \frac{13}{16}}$$ である。

(3)

隣り合う電球の境目は5か所ある。色の変化がちょうど $n$ 回起きるとは、その5か所のうちちょうど $n$ か所で色が変わることである。

変化する境目の選び方は ${}_5{\mathrm{C}}_n$ 通りであり、左端の色は赤または青の2通りである。左端の色と変化する境目が決まれば、右へ順に色が一意に決まる。したがって該当する並びは $2{}_5{\mathrm{C}}_n$ 通りである。

全体は $2^6$ 通りなので、求める確率は$${\displaystyle \frac{2{}_5{\mathrm{C}}_n}{2^6}}={\displaystyle \frac{{}_5{\mathrm{C}}_n}{32}}(0\leqq n\leqq 5)$$である。

(4)

5か所の境目を左から順に見て、$j$ 番目の境目で色が変わるとき $X_j=1$、変わらないとき $X_j=0$ とする。色の変化の回数を $X$ とすれば $X=X_1+X_2+X_3+X_4+X_5$ である。

各境目について、左側と右側の2個の色の組は $\text{赤赤},\text{ 赤青},\text{ 青赤},\text{ 青青}$ の4通りが等確率であり、このうち色が変わるのは2通りである。したがって $E(X_j)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。よって $$E(X)=E(X_1)+\cdots +E(X_5)=5\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$$ である。

色の変化は5個の境目で決まる

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左端の色と5個の境目の変化・不変を対応させる。この対応は全単射なので、5個の変化指示は独立な公平コインと同じになり、変化回数は二項分布に従う。

(1)
左端を赤に固定すると，変化する境目の選び方は5通りである。全配色は $2^6$ 通りだから$${\displaystyle \frac{5}{64}}\mathrm{.}$$(2)
変化回数を $X$ とする。左端の色と5個の境目の変化・不変を指定すると配色は一意に決まり，逆も成り立つ。したがって$$X\sim \mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(5,{\displaystyle \frac{1}{2}})\mathrm{.}$$よって$$\mathrm{Pr}(X\geqq 2)=1-{\displaystyle \frac{{}_5{\mathrm{C}}_0+{}_5{\mathrm{C}}_1}{2^5}}={\displaystyle \frac{13}{16}}\mathrm{.}$$(3)$$\mathrm{Pr}(X=n)={\displaystyle \frac{{}_5{\mathrm{C}}_n}{2^5}}(0\leqq n\leqq 5)\mathrm{.}$$この式は，左端の2通りと変化する境目 ${}_5{\mathrm{C}}_n$ 通りを数えて全配色 $2^6$ 通りで割っても得られる。

(4)
二項分布の平均より$$E(X)=5\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{5}{2}}\mathrm{.}$$