九州大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $$0^{\circ }<\theta <{180}^{\circ }$$ では $-1<\cos \theta <1$ であるから、$${\displaystyle \frac{3}{2}}<{\displaystyle \frac{5}{2}}+\cos \theta <{\displaystyle \frac{7}{2}}$$ である。したがって $[{\displaystyle \frac{5}{2}}+\cos \theta ]$ が取り得る値は $1,2,3$ である。 ${\log }_2[{\displaystyle \frac{5}{2}}+\cos \theta ]\leqq 1$ は $[{\displaystyle \frac{5}{2}}+\cos \theta ]\leqq 2$ と同値である。これは ${\displaystyle \frac{5}{2}}+\cos \theta <3$ すなわち $\cos \theta <{\displaystyle \frac{1}{2}}$ と同値である。よって $${60}^{\circ }<\theta <{180}^{\circ }$$ である。

(2)
床関数について、$[X]\geqq 1$ は $X\geqq 1$ と同値である。したがって $[{\displaystyle \frac{3}{2}}+{\log }_2\sin \theta ]\geqq 1$ は ${\displaystyle \frac{3}{2}}+{\log }_2\sin \theta \geqq 1$ と同値である。すなわち $${\log }_2\sin \theta \geqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ であり、底 $2$ は $1$ より大きいから $$\sin \theta \geqq 2^{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ である。$$0^{\circ }<\theta <{180}^{\circ }$$ より、求める範囲は $${45}^{\circ }\leqq \theta \leqq {135}^{\circ }$$ である。

(3)
左側の条件 ${\log }_2[{\displaystyle \frac{5}{2}}+\cos \theta ]\leqq 0$ を考える。$[{\displaystyle \frac{5}{2}}+\cos \theta ]$ は正の整数であるから、これは $[{\displaystyle \frac{5}{2}}+\cos \theta ]\leqq 1$ と同値である。取り得る値を考えると、実際には $$[{\displaystyle \frac{5}{2}}+\cos \theta ]=1$$ である。よって ${\displaystyle \frac{5}{2}}+\cos \theta <2$ すなわち $\cos \theta <-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。したがって $${120}^{\circ }<\theta <{180}^{\circ }$$ である。

次に右側の条件 $$0\leqq [{\displaystyle \frac{3}{2}}+{\log }_2\sin \theta ]$$ を考える。$[X]\geqq 0$ は $X\geqq 0$ と同値であるから、${\displaystyle \frac{3}{2}}+{\log }_2\sin \theta \geqq 0$ である。すなわち $${\log }_2\sin \theta \geqq -{\displaystyle \frac{3}{2}}$$ であり、$$\sin \theta \geqq 2^{-{\displaystyle \frac{3}{2}}}={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}}$$ となる。

問題文の $\alpha$ を $$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}},0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$$ で定めると、$$0^{\circ }<\theta <{180}^{\circ }$$ において $$\sin \theta \geqq {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}}$$ となる範囲は $$\alpha \leqq \theta \leqq {180}^{\circ }-\alpha$$ である。これと $${120}^{\circ }<\theta <{180}^{\circ }$$ の共通範囲を取ると、求める範囲は $${120}^{\circ }<\theta \leqq {180}^{\circ }-\alpha$$ である。