九州大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)

投げる回数を $X$ とする。$X$ の期待値は$$E(X)=\sum _{k=1}^{n}P(X\geqq k)$$で求められる。ここで $X\geqq k$ とは、第 $k$ 回を実際に投げるということである。

第 $k$ 回を投げるためには、第1回から第 $k-1$ 回までに1の目が出ていなければよい。したがって $$P(X\geqq k)={\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{k-1}$$ である。よって$$E(X)=\sum _{k=1}^n{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{k-1}={\displaystyle \frac{1-{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n}{1-{\displaystyle \frac{5}{6}}}}=6\{1-{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n\}$$である。

(2)

投げる回数を $Y$ とする。同様に$$E(Y)=\sum _{k=1}^{n}P(Y\geqq k)$$である。

第 $k$ 回を投げるためには、第1回から第 $k-1$ 回までに出た1の目の回数が0回または1回であればよい。$q={\displaystyle \frac{5}{6}}$ とおくと、$k-1$ 回のうち1が0回である確率は $q^{k-1}$ であり、1がちょうど1回である確率は $(k-1)\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}{q}^{k-2}$ である。ただし $k=1$ のとき後者は0と考えればよい。

したがって、$j=k-1$ と置き換えると$$E(Y)=\sum _{j=0}^{n-1}\{q^j+j\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}{q}^{j-1}\}$$である。

まず$$\sum _{j=0}^{n-1}{q}^j={\displaystyle \frac{1-q^n}{1-q}}=6(1-q^n)$$である。また、有限等比和の公式から$$\sum _{j=1}^{n-1}j{q}^{j-1}={\displaystyle \frac{1-n{q}^{n-1}+(n-1)q^n}{(1-q{)}^2}}$$である。$1-q=1\mathrm{/}6$ だから$${\displaystyle \frac{1}{6}}\sum _{j=1}^{n-1}j{q}^{j-1}=6\{1-n{q}^{n-1}+(n-1)q^n\}$$となる。

よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(Y)}& {\displaystyle =6(1-q^n)+6\{1-n{q}^{n-1}+(n-1)q^n\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =12-6n{q}^{n-1}+6(n-2)q^n\mathrm{.}}\end{array}$$ $q={\displaystyle \frac{5}{6}}$ を戻して $$E(Y)=12-6n{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-1}+6(n-2){\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n$$ である。

第 $k$ 回を投げる条件

停止回数 $T$ について$$E(T)=\sum _{k=1}^n\mathrm{Pr}(T\geqq k)$$を用いる。(2)では第 $k$ 回を投げる直前までの1の出現回数が高々1回であることを数える。

(1)
$T\geqq k$ であるのは最初の $k-1$ 回に1が出ないときだから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(T)}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^n{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{k-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6\{1-{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n\}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
今度の停止回数を $U$，$q={\displaystyle \frac{5}{6}}$ とする。$U\geqq k$ であるには，最初の $k-1$ 回で1が0回または1回ならよい。したがって$$\mathrm{Pr}(U\geqq k)=q^{k-1}+(k-1){\displaystyle \frac{1}{6}}{q}^{k-2}\mathrm{.}$$ゆえに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(U)}& {\displaystyle =\sum _{j=0}^{n-1}(q^j+{\displaystyle \frac{j}{6}}{q}^{j-1})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =12-6n{q}^{n-1}+6(n-2)q^n\mathrm{.}}\end{array}$$すなわち$$E(U)=12-6n{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-1}+6(n-2){\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n\mathrm{.}$$