九州大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
1回の勝負で $A$ が勝つのは、2個のさいころの出方 $36$ 通りのうち、$A$ の目が $B$ の目より大きい場合である。その数は $1+2+3+4+5=15$ 通りなので、$$P(A\text{ が勝つ})={\displaystyle \frac{15}{36}}={\displaystyle \frac{5}{12}}$$ である。同様に $$P(B\text{ が勝つ})={\displaystyle \frac{5}{12}}$$ であり、引き分けは $(1,1),(2,2),\dots ,(6,6)$ の6通りだから $$P(\text{引き分け})={\displaystyle \frac{6}{36}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$$ である。

4回後に総得点が等しくなるには、$A$ の勝数と $B$ の勝数が等しければよい。可能性は、両者0勝、両者1勝、両者2勝の3通りである。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_1}& {\displaystyle ={\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)}^4+{\displaystyle \frac{4!}{1!1!2!}}{\left({\displaystyle \frac{5}{12}}\right)}^2{\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{4!}{2!2!}}{\left({\displaystyle \frac{5}{12}}\right)}^4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{1296}}+12\cdot {\displaystyle \frac{25}{144}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{36}}+6\cdot {\displaystyle \frac{625}{20736}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2483}{10368}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
1回目に $A$ が勝ったことを条件としているので、その後の4回だけを考える。残り4回での $A$ の勝数を $a$、$B$ の勝数を $b$、引き分けの数を $d$ とする。このとき $a+b+d=4$ であり、最終得点は $A:1+a,B:b$ である。$B$ の方が $A$ より高得点となる条件は $b>1+a$ すなわち $b\geqq a+2$ である。

条件を満たす $(a,b,d)$ は $(0,2,2),(0,3,1),(0,4,0),(1,3,0)$ である。よって、残り4回について$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_2}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4!}{0!2!2!}}{\left({\displaystyle \frac{5}{12}}\right)}^2{\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{4!}{0!3!1!}}{\left({\displaystyle \frac{5}{12}}\right)}^3\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\left({\displaystyle \frac{5}{12}}\right)}^4+{\displaystyle \frac{4!}{1!3!0!}}{\left({\displaystyle \frac{5}{12}}\right)}^4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6\cdot {\displaystyle \frac{25}{144}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{36}}+4\cdot {\displaystyle \frac{125}{1728}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}+5\cdot {\displaystyle \frac{625}{20736}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{175}{768}}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで最後の $5{\left({\displaystyle \frac{5}{12}}\right)}^4$ は、$(0,4,0)$ の1通り分と $(1,3,0)$ の4通り分を合わせたものである。