九州大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $$f(x)=x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{24}}{x}^3-(1+x)\log (1+x)$$ であるから、$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1+x-{\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^2-\{\log (1+x)+1\}=x-{\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^2-\log (1+x)$$ である。さらに $$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=1-{\displaystyle \frac{x}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{1+x}}={\displaystyle \frac{x(3-x)}{4(1+x)}}$$ である。 $0\leqq x\leqq 5$ では $1+x>0$ だから、$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は $x(3-x)$ の符号で決まる。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は $0\leqq x\leqq 3$ で増加し、$3\leqq x\leqq 5$ で減少する。よって $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ の最小値は端点 $x=0,5$ のどちらかで生じる。

端点の値は $f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ であり、$$f^{\mathrm{\prime }}(5)=5-{\displaystyle \frac{25}{8}}-\log 6={\displaystyle \frac{15}{8}}-\log 6$$ である。与えられた近似値より $$\log 6=\log 2+\log 3=0.69+1.10=1.79$$ であり、$${\displaystyle \frac{15}{8}}=1.875>1.79$$ である。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(5)>0$ である。以上より $$f^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0(0\leqq x\leqq 5)$$ が成り立つ。

(2)
(1) より $f^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0$ であり、また $f(0)=0$ である。したがって $0\leqq x\leqq 5$ で $f(x)\geqq 0$ である。すなわち $$x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{24}}{x}^3\geqq (1+x)\log (1+x)$$ なので、求める面積は $${\int }_0^{5}f(x)dx$$ である。

多項式部分の積分は$${\int }_0^5(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{24}}{x}^3)dx={\displaystyle \frac{25}{2}}+{\displaystyle \frac{125}{6}}-{\displaystyle \frac{625}{96}}={\displaystyle \frac{2575}{96}}$$である。一方、$u=1+x$ とおくと $${\int }_0^5(1+x)\log (1+x)dx={\int }_1^{6}u\log udu$$ である。部分積分により$$\int u\log udu={\displaystyle \frac{u^2}{2}}\log u-{\displaystyle \frac{u^2}{4}}$$だから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_1^{6}u\log udu}& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{u^2}{2}}\log u-{\displaystyle \frac{u^2}{4}}]}_1^6}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =18\log 6-9+{\displaystyle \frac{1}{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =18\log 6-{\displaystyle \frac{35}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって面積は$${\displaystyle \frac{2575}{96}}-(18\log 6-{\displaystyle \frac{35}{4}})={\displaystyle \frac{3415}{96}}-18\log 6$$である。