九州大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)

偶数が出る確率，奇数が出る確率はいずれも ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。したがって7回の操作は，それぞれ $E:s\mapsto 2s,O:s\mapsto \lfloor {\displaystyle \frac{s}{2}}\rfloor$ のどちらかを行うものとして数えればよい。全事象は $2^7=128$ 通りである。

初期点10から，各回後の点数分布を同じ点数ごとにまとめると，7回後は$$\begin{array}{ccccccccccc}\text{点数}& 0& 1& 4& 5& 16& 20& 64& 80& 320& 1280\\ \text{個数}& 16& 14& 20& 14& 7& 28& 1& 20& 7& 1\end{array}$$となる。例えば，途中で同じ点数に合流する場合があるため，単に偶数の出た回数だけでは分類できない。

50点以上であるのは $64,80,320,1280$ の場合であり，その個数は $1+20+7+1=29$ である。よって $${\displaystyle P={\displaystyle \frac{29}{128}}}$$ である。

(2)

同様に，初期点3から5回操作する。全事象は $2^5=32$ 通りである。5回後の点数分布は$$\begin{array}{cccccccc}\text{点数}& 0& 1& 4& 6& 16& 24& 96\\ \text{個数}& 12& 5& 4& 5& 1& 4& 1\end{array}$$となる。

5点以上であるのは $6,16,24,96$ の場合であり，その個数は $5+1+4+1=11$ である。したがって $${\displaystyle Q={\displaystyle \frac{11}{32}}}$$ である。

切り捨てがあるため操作順が効く。各段階で「点数ごとの経路数」を更新する。

偶数操作を $E$、奇数操作を $O$ と書く。(1)は偶数が5回以上なら必ず50点以上で、偶数4回以下なら到達しないことを示して二項係数で数える。(2)は偶数4回以上の列に加え、偶数3回・奇数2回の10列だけを直接評価する。

(1)

固定した個数の $E,O$ の順序を入れ替えるとき$$OE(s)=2\lfloor {\displaystyle \frac{s}{2}}\rfloor \leqq s=EO(s)$$である。したがって、同じ個数なら $O$ を前へ移すほど最終点は小さくなる。

偶数が5回、奇数が2回の列で最小なのは $OOEEEEE$ であり、その最終点は$$\lfloor {\displaystyle \frac{1}{2}}\lfloor {\displaystyle \frac{10}{2}}\rfloor \rfloor \cdot 2^5=64$$である。よって偶数が5回以上なら必ず50点以上になる。

一方、切り捨てを無視すれば最終点を過大評価する。偶数が4回以下なら$$\text{最終点}\leqq 10\cdot 2^{4-3}=20<50$$である。したがって50点以上となるのは偶数が5回以上の場合に限る。有利な偶奇列は$$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{5}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{6}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{7}\right)=21+7+1=29$$通りであり$$P={\displaystyle \frac{29}{2^7}}={\displaystyle \frac{29}{128}}\mathrm{.}$$(2)

偶数が4回または5回なら、どの順序でも最終点は5以上である。その列数は$$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{4}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{5}\right)=6.$$偶数3回・奇数2回の10列を調べる。$E,O$ を左から作用順に書くと、条件を満たすのは$$EEEOO,EEOEO,EEOOE,EOEEO,EOEOE$$の5列で、いずれも最終点は6である。他の5列は5未満になる。

よって有利な列は $6+5=11$ 通りであり$$Q={\displaystyle \frac{11}{2^5}}={\displaystyle \frac{11}{32}}\mathrm{.}$$