九大 2007年度理系数学第4問｜問題・解答・解説

方針

異なる2実根の条件は判別式 $D = b^{2} - 4 a c > 0$ である。さいころでは $1 ≦ b ≦ 6$ なので，まず $4 a c < b^{2} ≦ 36$ から $a c < 9$ と絞り，実際に作れる $a c$ と順序付きの $(a, c)$ の個数を表にする。(2)で有理数解をもつには，解の公式の平方根 $\sqrt{D}$ が有理数であればよい。 $D$ は自然数なので，正の平方数である場合だけを， $a c$ ごとに $b = 1, \dots, 6$ で調べる。

解答

(1)

方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ が異なる2つの実数解をもつ条件は，判別式 $D = b^{2} - 4 a c$ が正であることである。さいころの目より $1 ≦ b ≦ 6$ なので， $D > 0$ となるには $4 a c < b^{2} ≦ 36$ が必要である。したがって $a c < 9$ である。 $a, c$ はともに1から6までの整数なので， $a c < 9$ で実際に作れる値と，順序付きの組 $(a, c)$ の個数は $\begin{array}{cccccccc} a c & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 8 \\ (a, c) の組数 & 1 & 2 & 2 & 3 & 2 & 4 & 2 \end{array}$ である。例えば $a c = 4$ では $(1, 4), (2, 2), (4, 1)$ の3通りである。

また，これらの各値では実際に $b$ を十分大きく選べば $b^{2} > 4 a c$ となる。よって，積 $a c$ の取りうる値と組数は上の表の通りである。

(2)

解の公式より，解は $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ である。 $a, b, c$ は整数なので，異なる2つの有理数解をもつためには，判別式 $D = b^{2} - 4 a c$ が正の平方数であればよい。問題文の注意より，正の平方数でない自然数の平方根は無理数である。

(1) で得た $a c$ の候補ごとに， $1 ≦ b ≦ 6$ で $D$ が正の平方数になる場合を調べる。 $\begin{array}{ccc} a c & D = b^{2} - 4 a c が正の平方数となる b & (a, b, c) の個数 \\ 1 & なし & 0 \\ 2 & 3 & 2 \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & 5 & 3 \\ 5 & 6 & 2 \\ 6 & 5 & 4 \\ 8 & 6 & 2 \end{array}$ である。たとえば $a c = 6$ では $b = 5$ のとき $D = 25 - 24 = 1$ となり， $(a, c)$ は $(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)$ の4通りである。

したがって有利な場合の数は $0 + 2 + 2 + 3 + 2 + 4 + 2 = 15$ である。全事象は $6^{3} = 216$ 通りなので，求める確率は $\frac{15}{216} = \frac{5}{72}$ である。

実数解の条件で積 $a c$ を絞り、その後に判別式が平方数かを調べる。

総評

難度5，計算量5。実数解の条件は $D > 0$ ，有理数解の条件は $D$ が正の平方数，という2段階を混同しないことが大切である。 $a c < 9$ で候補を絞ったあと， $(a, c)$ は順序付きで数える。最後の表では $a c$ の値ごとに許される $b$ がほぼ一つに決まるので，表を丁寧に作れば数え漏れを防げる。目安時間は20分前後。

出典: 九州大学 2007年度数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

九州大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

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解答

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九州大学 2007年度前期日程第2次学力試験理系数学第4問