九州大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
右側の接点を $(q,a{q}^2)$ とおく。$q>0$ である。放物線 $C_1:y=a{x}^2$ の接線の傾きは $2aq$ である。一方，円 $C_2$ の中心は $(0,p)$ であり，中心から接点へ向かう半径の傾きは ${\displaystyle \frac{a{q}^2-p}{q}}$ である。接線と半径は垂直だから $$2aq\cdot {\displaystyle \frac{a{q}^2-p}{q}}=-1$$ であり，$2a(a{q}^2-p)=-1$ すなわち $$p=a{q}^2+{\displaystyle \frac{1}{2a}}$$ である。

また接点は円上にあるので $q^2+(a{q}^2-p{)}^2=r^2$ である。上で得た $p=a{q}^2+1\mathrm{/}(2a)$ より $$a{q}^2-p=-{\displaystyle \frac{1}{2a}}$$ だから $$q^2+{\displaystyle \frac{1}{4a^2}}=r^2$$ である。したがって $$q=\sqrt{r^2-{\displaystyle \frac{1}{4a^2}}}$$ である。さらに $$p=a(r^2-{\displaystyle \frac{1}{4a^2}})+{\displaystyle \frac{1}{2a}}=a{r}^2+{\displaystyle \frac{1}{4a}}$$ より $$p=a{r}^2+{\displaystyle \frac{1}{4a}}$$ である。異なる2点で接するためには右辺の平方根が正であることも必要で，この条件のもとで接点は $x=\pm q$ に現れる。

(2) $ar=1$ より $a=1\mathrm{/}r$ である。このとき$$q=\sqrt{r^2-{\displaystyle \frac{r^2}{4}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}r,p={\displaystyle \frac{1}{r}}{r}^2+{\displaystyle \frac{r}{4}}={\displaystyle \frac{5}{4}}r$$である。円の下側の弧は $$y={\displaystyle \frac{5}{4}}r-\sqrt{r^2-x^2}$$ であり，放物線は $$y={\displaystyle \frac{x^2}{r}}$$ である。$x=0$ では円弧の値が $r\mathrm{/}4$，放物線の値が0なので，囲まれた部分では円弧が上，放物線が下である。よって面積 $S$ は $$S={\int }_{-q}^q({\displaystyle \frac{5}{4}}r-\sqrt{r^2-x^2}-{\displaystyle \frac{x^2}{r}})dx$$ である。

各項を計算する。まず $${\int }_{-q}^q{\displaystyle \frac{5}{4}}rdx={\displaystyle \frac{5}{4}}r\cdot 2q={\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{4}}{r}^2$$ である。また $q=\sqrt{3}r\mathrm{/}2$ だから$${\int }_{-q}^q\sqrt{r^2-x^2}dx=r^2({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$$である。これは半径 $r$ の円で，中心角 $2\pi \mathrm{/}3$ の扇形から二等辺三角形を合わせた面積としても確認できる。さらに $${\int }_{-q}^q{\displaystyle \frac{x^2}{r}}dx={\displaystyle \frac{2q^3}{3r}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}{r}^2$$ である。したがって$$S=r^2({\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{4}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}})=r^2({\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$$である。よって求める面積は ${\displaystyle \frac{r^2(9\sqrt{3}-4\pi )}{12}}$ である。

成立条件の確認

異なる2接点をもつため $q>0$ であり，$$r^2-{\displaystyle \frac{1}{4a^2}}>0$$すなわち $2ar>1$ が必要である。(2)の $ar=1$ はこの条件を満たす。面積の答えも $9\sqrt{3}>4\pi$ より正であり，図の上下関係と整合する。