九州大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $0\leqq x\leqq 1$ では $f(x)=4x(1-x)$ であり、$x\geqq 0$、$1-x\geqq 0$ だから $f(x)\geqq 0$ である。また $f(x)=1-(2x-1{)}^2$ と変形できるので $f(x)\leqq 1$ である。したがって $0\leqq f(x)\leqq 1$ が成り立ち、区間 $[0,1]$ は $f(x)$ に関して不変である。

(2) $0<a<b<1$ で、区間 $[a,b]$ が $f(x)$ に関して不変であると仮定する。このとき、特に $a\leqq x\leqq b$ を満たす端点 $a,b$ について $$a\leqq f(a)\leqq b,a\leqq f(b)\leqq b$$ が必要である。

まず、もし $$b<{\displaystyle \frac{3}{4}}$$ なら $$f(b)-b=4b(1-b)-b=b(3-4b)>0$$ であるから $f(b)>b$ となり、不変性に反する。したがって $b\geqq {\displaystyle \frac{3}{4}}$ でなければならない。

次に、もし $$a>{\displaystyle \frac{3}{4}}$$ なら $f(a)-a=a(3-4a)<0$ であるから $f(a)<a$ となり、不変性に反する。したがって $a\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}$ でなければならない。

さらに、もし $$a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq b$$ なら、${\displaystyle \frac{1}{2}}\in [a,b]$ であるにもかかわらず $$f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=1>b$$ となる。これは不変性に反する。すでに $$b\geqq {\displaystyle \frac{3}{4}}>{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ が必要であるから、この場合を避けるには $a>{\displaystyle \frac{1}{2}}$ でなければならない。

以上より、残る可能性は $${\displaystyle \frac{1}{2}}<a\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}\leqq b<1$$ だけである。そこで $$a={\displaystyle \frac{3}{4}}-s,b={\displaystyle \frac{3}{4}}+t$$ とおく。このとき $$0\leqq s<{\displaystyle \frac{1}{4}},0\leqq t<{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。

不変性より $f(a)\leqq b$、$f(b)\geqq a$ が必要である。まず$$f({\displaystyle \frac{3}{4}}-s)=4({\displaystyle \frac{3}{4}}-s)({\displaystyle \frac{1}{4}}+s)={\displaystyle \frac{3}{4}}+2s-4s^2$$であるから、$f(a)\leqq b$ は $${\displaystyle \frac{3}{4}}+2s-4s^2\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}+t$$ すなわち $t\geqq 2s-4s^2$ となる。

また$$f({\displaystyle \frac{3}{4}}+t)=4({\displaystyle \frac{3}{4}}+t)({\displaystyle \frac{1}{4}}-t)={\displaystyle \frac{3}{4}}-2t-4t^2$$であるから、$f(b)\geqq a$ は $${\displaystyle \frac{3}{4}}-2t-4t^2\geqq {\displaystyle \frac{3}{4}}-s$$ すなわち $s\geqq 2t+4t^2$ となる。

後者から特に $s\geqq 2t$ であり、前者から $t\geqq 2s-4s^2$ である。したがって $$s\geqq 2t\geqq 2(2s-4s^2)=4s-8s^2$$ である。よって $s(3-8s)\leqq 0$ となる。

ここで $$0\leqq s<{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。もし $s>0$ なら $3-8s>3-2=1>0$ なので $s(3-8s)>0$ となり矛盾する。したがって $s=0$ でなければならない。ところが $s=0$ を $s\geqq 2t+4t^2$ に代入すると $0\geqq 2t+4t^2$ であり、$t\geqq 0$ だから $t=0$ である。すると $a=b={\displaystyle \frac{3}{4}}$ となり、$a<b$ に反する。

したがって $0<a<b<1$ を満たす区間 $[a,b]$ は、$f(x)$ に関して不変ではない。