九州大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
条件（＊）は、すべての $0\leqq x\leqq 1$ について $$a{x}^2+c\geqq (x+1{)}^2=x^2+2x+1$$ が成り立つことである。したがって $$c\geqq (1-a)x^2+2x+1(0\leqq x\leqq 1)$$ と同値である。 $a\geqq 2$ のとき、$\varphi (x)=(1-a)x^2+2x+1$ は上に凸でない二次関数で、頂点は $$x={\displaystyle \frac{1}{a-1}}$$ である。$a\geqq 2$ より $$0<{\displaystyle \frac{1}{a-1}}\leqq 1$$ なので、この頂点は区間 $[0,1]$ に入る。よって最大値は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \varphi \left({\displaystyle \frac{1}{a-1}}\right)}& {\displaystyle =(1-a){\displaystyle \frac{1}{(a-1{)}^2}}+{\displaystyle \frac{2}{a-1}}+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{1}{a-1}}+{\displaystyle \frac{2}{a-1}}+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a}{a-1}}}\end{array}$$である。したがって条件（＊）を満たす最小の $c$ は ${\displaystyle \frac{a}{a-1}}$ である。

(2) $a\leqq 2$ のとき、$0\leqq x\leqq 1$ において ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)=2(1-a)x+2$ を考える。$a\leqq 1$ なら ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ であり、$1<a\leqq 2$ なら頂点 $x=1\mathrm{/}(a-1)$ は $[0,1]$ の右端以上にある。したがって、いずれの場合も $[0,1]$ での最大値は右端 $x=1$ でとる。

よって最大値は $\varphi (1)=(1-a)+2+1=4-a$ である。したがって条件（＊）を満たす最小の $c$ は $4-a$ である。

(3)
条件（＊）を満たす $f$ の積分は$${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1(a{x}^2+c)dx={\displaystyle \frac{a}{3}}+c$$である。固定した $a$ に対して積分を小さくするには、$c$ を条件（＊）を満たす最小値にすればよい。

まず $a\geqq 2$ では $$I(a)={\displaystyle \frac{a}{3}}+{\displaystyle \frac{a}{a-1}}$$ を最小にする。微分すると $$I^{\mathrm{\prime }}(a)={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{(a-1{)}^2}}$$ である。したがって $a\geqq 2$ での最小は $a-1=\sqrt{3}$ すなわち $a=1+\sqrt{3}$ のときである。このとき $$c={\displaystyle \frac{a}{a-1}}={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}=1+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$$ であり、積分値は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I(1+\sqrt{3})}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{3}}+1+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4+2\sqrt{3}}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$次に $a\leqq 2$ では $$I(a)={\displaystyle \frac{a}{3}}+4-a=4-{\displaystyle \frac{2}{3}}a$$ であり、これは $a$ が大きいほど小さい。よって $a\leqq 2$ での最小は $a=2$ のときで、値は $4-{\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{8}{3}}$ である。

最後に $${\displaystyle \frac{4+2\sqrt{3}}{3}}<{\displaystyle \frac{8}{3}}$$ なので、全体の最小は $$a=1+\sqrt{3},c=1+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$$ のときであり、その積分値は ${\displaystyle \frac{4+2\sqrt{3}}{3}}$ である。

条件を満たす最小の $c$ を平方完成から直接求める。(3) の $a\geqq 2$ 側は $u=a-1$ とおき、微分を使わず相加相乗平均で最小化する。

(1) $$(1-a)x^2+2x+1=-(a-1){(x-{\displaystyle \frac{1}{a-1}})}^2+{\displaystyle \frac{a}{a-1}}$$である。$a\geqq 2$ なら頂点は $0<x\leqq 1$ にあるので、条件を満たす最小の
$c$ は ${\displaystyle \frac{a}{a-1}}$ である。

(2)
$a\leqq 2$ では $[0,1]$ 上でこの二次関数は $x=1$ まで増加する。したがって
最大値は $4-a$ であり、これが最小の $c$ である。

(3)
固定した $a$ では最小の $c$ を選べばよい。$a\geqq 2$ で $u=a-1\geqq 1$
とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)dx}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a}{3}}+{\displaystyle \frac{a}{a-1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{3}}+{\displaystyle \frac{u}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{u}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \geqq {\displaystyle \frac{4}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{4+2\sqrt{3}}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$等号は $${\displaystyle \frac{u}{3}}={\displaystyle \frac{1}{u}}$$、すなわち $u=\sqrt{3}$ のときである。
一方 $a\leqq 2$ では$${\displaystyle \frac{a}{3}}+4-a=4-{\displaystyle \frac{2a}{3}}\geqq {\displaystyle \frac{8}{3}}\mathrm{.}$$しかも$${\displaystyle \frac{4+2\sqrt{3}}{3}}<{\displaystyle \frac{8}{3}}\mathrm{.}$$よって$$a=1+\sqrt{3},c=1+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},\min {\int }_0^{1}f(x)dx={\displaystyle \frac{4+2\sqrt{3}}{3}}\mathrm{.}$$