方針
(1) は g(x)=f(x)−x を作り、中間値の定理を使う。(2) はまず固定点が一意であることを平均値の定理で示し、その固定点 α からの距離を評価する。∣f′(x)∣≦1/2 により距離が毎回高々半分になるので、数列は α に収束する。
解答
(1) g(x)=f(x)−x とおく。f は連続なので g も [0,1] で連続である。また 0≦f(0)≦1 より g(0)=f(0)≧0 であり、0≦f(1)≦1 より g(1)=f(1)−1≦0 である。
もし g(0)=0 または g(1)=0 なら、その点が共有点である。そうでなければ g(0)>0、g(1)<0 なので、中間値の定理よりある α∈(0,1) が存在して g(α)=0 となる。したがって f(α)=α であり、y=f(x) と y=x は共有点をもつ。
(2)
(1) より固定点 α が存在する。まず固定点が一意であることを示す。もし α,β がともに固定点なら f(α)=α,f(β)=β である。平均値の定理より、α=β とすると ∣α−β∣∣f(α)−f(β)∣≦21 である。したがって ∣α−β∣=∣f(α)−f(β)∣≦21∣α−β∣ となり、これは α=β に反する。よって固定点は一意である。
数列 xn+1=f(xn) について、f(α)=α だから∣xn+1−α∣=∣f(xn)−f(α)∣≦21∣xn−α∣.これを繰り返すと ∣xn−α∣≦(21)n−1∣x1−α∣. 右辺は n→∞ で0に近づくので xn→α である。したがって数列 {xn} は収束する。
別解
解法2（直接Cauchy列を示す）
方針
隣接項の差が毎回半分以下になることを示し、幾何級数で任意の2項間距離を評価してCauchy列にする。極限が固定点であることは最後に連続性から従う。
解答
(1) g(x)=f(x)−xとおけば g(0)≧0, g(1)≦0 である。g は連続だから中間値の定理によりg(α)=0となる α∈[0,1] が存在する。
(2)
平均値の定理から任意の x,y∈[0,1] について∣f(x)−f(y)∣≦21∣x−y∣.したがって∣xn+1−xn∣≦21∣xn−xn−1∣≦(21)n−1∣x2−x1∣.m>n なら∣xm−xn∣≦j=n∑m−1∣xj+1−xj∣≦∣x2−x1∣j=n∑∞(21)j−1.右辺は n→∞ で0となるので {xn} はCauchy列であり、実数の完備性
から収束する。極限を L とすると 0≦L≦1 で、f の連続性よりL=limxn+1=limf(xn)=f(L).
総評
難度6、計算量4。目安時間は12〜16分。採点ポイントは、(1) で中間値の定理を使うために f(x)−x を作ること、(2) で固定点の一意性と収束を同じ縮小評価から示すことです。
誤りやすいのは、共有点の存在だけを示して、その共有点に本当に近づく理由を書かないことです。∣f′(x)∣≦1/2 は「距離を半分以下に縮める」ための条件なので、平均値の定理を使って ∣xn+1−α∣≦∣xn−α∣/2 を明示するのが答案の中心です。
冊子PDFで見る九大の関数の問題で問題集を作る
出典: 九州大学 2003年度 後期 理系 第4問（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。
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