九州大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

放物線 $y=f(x)=-p{x}^2+2$ が $(3\sqrt{2},0)$ を通るから、$$0=-p(3\sqrt{2}{)}^2+2=-18p+2$$ である。したがって $p={\displaystyle \frac{1}{9}}$ である。点 $(-3\sqrt{2},0)$ についても $x^2=18$ なので同じ条件を満たす。

(2)

以後 $$f(x)=-{\displaystyle \frac{x^2}{9}}+2,g(x)=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-2$$ である。交点は $$-{\displaystyle \frac{x^2}{9}}+2=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-2$$ を満たす点である。

まず $x\geqq 0$ のとき $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=x$ だから $$-{\displaystyle \frac{x^2}{9}}+2=x-2$$ すなわち $x^2+9x-36=0$ である。よって $(x-3)(x+12)=0$ となり、$x\geqq 0$ に合う解は $x=3$ である。このとき $y=1$ である。

次に $x<0$ のとき $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=-x$ だから $$-{\displaystyle \frac{x^2}{9}}+2=-x-2$$ すなわち $x^2-9x-36=0$ である。よって $(x+3)(x-12)=0$ となり、$x<0$ に合う解は $x=-3$ である。このとき $y=1$ である。

したがって交点は $(-3,1),(3,1)$ である。

(3) $x$ 座標が最小の交点は $A=(-3,1)$ である。$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{2x}{9}}$$ だから、点 $A$ における接線の傾きは $f^{\mathrm{\prime }}(-3)={\displaystyle \frac{2}{3}}$ である。よって接線 $y=h(x)$ は $y-1={\displaystyle \frac{2}{3}}(x+3)$ すなわち $h(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}x+3$ である。

次に $h(x)=g(x)$ を解く。$x<0$ では ${\displaystyle \frac{2}{3}}x+3=-x-2$ より ${\displaystyle \frac{5}{3}}x=-5,x=-3$ となり、これは点 $A$ である。 $x\geqq 0$ では ${\displaystyle \frac{2}{3}}x+3=x-2$ より ${\displaystyle \frac{1}{3}}x=5,$ したがって $x=15$ である。このとき $y=g(15)=13$ なので、点 $A$ とは異なる交点は $B=(15,13)$ である。

(4)

求める図形は $-3\leqq x\leqq 15$ の範囲で、上側が $y=h(x)$、下側が $y=f(x)$ と $y=g(x)$ のうち大きい方である。

(2) より $f(x)=g(x)$ は $x=-3,3$ で起こる。例えば $x=0$ では $f(0)=2,g(0)=-2$ であるから、$-3\leqq x\leqq 3$ では $f(x)\geqq g(x)$ である。一方、$3\leqq x\leqq 15$ では $g(x)\geqq f(x)$ である。

したがって面積 $S$ は$$S={\int }_{-3}^3\{h(x)-f(x)\}dx+{\int }_3^{15}\{h(x)-g(x)\}dx$$である。まず$$h(x)-f(x)=({\displaystyle \frac{2}{3}}x+3)-(-{\displaystyle \frac{x^2}{9}}+2)={\displaystyle \frac{x^2}{9}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}x+1={({\displaystyle \frac{x}{3}}+1)}^2$$だから$${\int }_{-3}^3\{h(x)-f(x)\}dx={\int }_{-3}^3{({\displaystyle \frac{x}{3}}+1)}^{2}dx=8$$である。また $3\leqq x\leqq 15$ では $g(x)=x-2$ なので $$h(x)-g(x)=({\displaystyle \frac{2}{3}}x+3)-(x-2)=5-{\displaystyle \frac{x}{3}}$$ であり、$${\int }_3^{15}\{h(x)-g(x)\}dx={\int }_3^{15}(5-{\displaystyle \frac{x}{3}})dx=24$$である。よって $S=8+24=32$ である。

放物線・絶対値関数・接線

放物線と絶対値関数の対称性を使って交点を同時に求める。接線との差を完全平方にし、面積では下側の曲線が切り替わる $x=3$ だけで区間を分ける。

(1)
$(3\sqrt{2},0)$ を代入すると$$-18p+2=0$$だから $p={\displaystyle \frac{1}{9}}$ である。

(2)
$f,g$ はともに偶関数なので，$x\geqq 0$ だけ調べればよい。$$-{\displaystyle \frac{x^2}{9}}+2=x-2⟺(x-3)(x+12)=0.$$よって正の側の交点は $(3,1)$，対称性からもう一つは $(-3,1)$ である。

(3)
$A=(-3,1)$ であり，$$f^{\mathrm{\prime }}(-3)={\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}$$したがって$$h(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}x+3.$$$h(x)=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-2$ を左右の枝で解くと，$A$ 以外の交点は$$B=(15,13)$$である。

(4) $$h(x)-f(x)={({\displaystyle \frac{x}{3}}+1)}^2\mathrm{.}$$$-3\leqq x\leqq 3$ では $f\geqq g$，$3\leqq x\leqq 15$ では $g\geqq f$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-3}^3{({\displaystyle \frac{x}{3}}+1)}^{2}dx+{\int }_3^{15}(5-{\displaystyle \frac{x}{3}})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8+24=32.}\end{array}$$