九州大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 関数・微分文系数学 第3問(a)

(1) $$px-f(x)=px-(a{x}^2+bx+c)=-a{x}^2+(p-b)x-c$$ である。$a>0$ なのでこれは $x$ について上に凸でない二次関数であり、最大値は $$g(p)={\displaystyle \frac{(p-b{)}^2}{4a}}-c$$ である。 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ が一致するとは、すべての $x$ について $$a{x}^2+bx+c={\displaystyle \frac{(x-b{)}^2}{4a}}-c$$ が成り立つことである。係数を比較すると $$a={\displaystyle \frac{1}{4a}},b=-{\displaystyle \frac{b}{2a}},c={\displaystyle \frac{b^2}{4a}}-c$$ である。$a>0$ より $a=1\mathrm{/}2$。このとき第2式から $b=0$、第3式から $c=0$ である。よって $f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$ である。

(2)
(1) で求めた式を用いると $$xp-g(p)=xp-{\displaystyle \frac{(p-b{)}^2}{4a}}+c$$ である。これは $p$ について上に凸でない二次関数であり、平方完成すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle xp-g(p)}& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{1}{4a}}\{p-(2ax+b){\}}^2+a{x}^2+bx+c\mathrm{.}}\end{array}$$したがって最大値は $p=2ax+b$ で取られ、$h(x)=a{x}^2+bx+c=f(x)$ である。

(3)
直線 $y=px+q$ が点 $(t,f(t))$ で $y=f(x)$ に接することは $$p=f^{\mathrm{\prime }}(t)=2at+b,q=f(t)-pt$$ と同値である。このとき、$px-f(x)$ は $x=t$ で最大値をとるので $g(p)=pt-f(t)$ であり、また $q=f(t)-pt=-g(p)$ である。

逆に $$g(p)=pt-f(t),q=-g(p)$$ が成り立つとする。$g(p)$ は $px-f(x)$ の最大値であり、その最大値が $x=t$ で実現している。二次関数 $px-f(x)$ の最大点では導関数が0だから $p-f^{\mathrm{\prime }}(t)=0$ すなわち $p=f^{\mathrm{\prime }}(t)$ である。また $q=-g(p)=f(t)-pt$ なので、直線は $(t,f(t))$ を通り、傾きも $f^{\mathrm{\prime }}(t)$ に等しい。したがってこの直線は点 $(t,f(t))$ でグラフに接する。

平方完成で得た $g$ を使い、$f(x)+g(p)-xp$ を完全平方として表す。等号条件が接線条件そのものになることを利用する。

平方完成により$$g(p)={\displaystyle \frac{(p-b{)}^2}{4a}}-c\mathrm{.}$$したがって任意の実数 $x,p$ について$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)+g(p)-xp}& {\displaystyle =a{x}^2+bx+c+{\displaystyle \frac{(p-b{)}^2}{4a}}-c-xp}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\{p-(2ax+b){\}}^2}{4a}}\geqq 0.}\end{array}$$(1) $f(x)=g(x)$ を係数比較すると$$a={\displaystyle \frac{1}{4a}},b=-{\displaystyle \frac{b}{2a}},c={\displaystyle \frac{b^2}{4a}}-c\mathrm{.}$$$a>0$ より $a={\displaystyle \frac{1}{2}},b=c=0$ であり、$$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2\mathrm{.}$$(2) 上の平方の非負性は$$xp-g(p)\leqq f(x)$$を示す。$p=2ax+b$ なら等号となるので$$h(x)=f(x)\mathrm{.}$$(3) 等号$$g(p)=pt-f(t)$$が成り立つことは $p=2at+b=f^{\mathrm{\prime }}(t)$ と同値である。さらに$$q=-g(p)=f(t)-pt$$なら直線は $(t,f(t))$ を通る。よって2条件は、傾きが $f^{\mathrm{\prime }}(t)$ で点
$(t,f(t))$ を通ること、すなわち接線であることと必要十分に対応する。