九州大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $f(x)=0$ となるための条件は $$\mid \sin x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mid -{\displaystyle \frac{1}{2}}=0$$ すなわち $$\mid \sin x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mid ={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。よって $$\sin x-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{または}\sin x-{\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ であり、$$\sin x=1\text{または}\sin x=0$$ を得る。 $-\pi \leqq x\leqq \pi$ において、$\sin x=0$ の解は $x=-\pi ,0,\pi$ であり、$\sin x=1$ の解は $$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ である。したがって求める $x$ は $$x=-\pi ,0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}},\pi$$ である。

(2) $$\sin x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$ のとき $$\mid \sin x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mid ={\displaystyle \frac{1}{2}}-\sin x$$ であるから $$f(x)=\mathrm{\mid }-\sin x\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }$$ である。一方、$$\sin x\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$ のとき $$\mid \sin x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mid =\sin x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ であり、$\sin x\leqq 1$ なので $$f(x)=\mathrm{\mid }\sin x-1\mathrm{\mid }=1-\sin x$$ である。

したがって区間ごとに書けば$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-\sin x& (-\pi \leqq x\leqq 0),\\ \sin x& (0\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}6),\\ 1-\sin x& (\pi \mathrm{/}6\leqq x\leqq 5\pi \mathrm{/}6),\\ \sin x& (5\pi \mathrm{/}6\leqq x\leqq \pi )\end{array}$$である。この式に従って描けばよい。主な通過点は$$(-\pi ,0),(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},1),(0,0),({\displaystyle \frac{\pi }{6}},{\displaystyle \frac{1}{2}}),({\displaystyle \frac{\pi }{2}},0),({\displaystyle \frac{5\pi }{6}},{\displaystyle \frac{1}{2}}),(\pi ,0)$$であり、$x=0,\pi \mathrm{/}2$ などで折れ曲がる概形になる。

(3) $0\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}2$ では $$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq 0$$ である。この範囲では $$\sin (x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=-\cos x\leqq 0$$ なので、(2)の $$\sin y\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$ の場合により$$f(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=\mid \sin (x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\mid =\cos x$$である。

また $0\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}2$ では$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin x& (0\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}6),\\ 1-\sin x& (\pi \mathrm{/}6\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}2)\end{array}$$である。よって $0\leqq a\leqq \pi \mathrm{/}6$ のとき $$F(a)={\int }_0^a\sin x\cos xdx={\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^{2}a$$ である。

次に $\pi \mathrm{/}6\leqq a\leqq \pi \mathrm{/}2$ のとき、$$F(a)={\int }_0^{\pi \mathrm{/}6}\sin x\cos xdx+{\int }_{\pi \mathrm{/}6}^a(1-\sin x)\cos xdx$$である。第1項は $${\int }_0^{\pi \mathrm{/}6}\sin x\cos xdx={\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^2{\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$$ であり、第2項は$${\int }_{\pi \mathrm{/}6}^a(1-\sin x)\cos xdx={[\sin x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^{2}x]}_{\pi \mathrm{/}6}^a$$だから$$=\sin a-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^{2}a-({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{8}})=\sin a-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^{2}a-{\displaystyle \frac{3}{8}}$$である。したがって $$F(a)=\sin a-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^{2}a-{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ となる。

以上より$$F(a)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^{2}a& (0\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{6}}),\\ \sin a-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^{2}a-{\displaystyle \frac{1}{4}}& ({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})\end{array}$$である。$a=\pi \mathrm{/}6$ ではどちらも ${\displaystyle \frac{1}{8}}$ となるので、境目でも一致している。