九州大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $C_1$ の右辺を $$F(x)=p{x}^4+5(p-q)x^3+q{x}^2+4(p+q)x+p$$ とおく。

原点に関して対称な点は $(x,y)\mapsto (-x,-y)$ で移るので、曲線 $C_2$ 上の点 $(x,y)$ は $-y=F(-x)$ をみたす。したがって $$y=-F(-x)=-p{x}^4+5(p-q)x^3-q{x}^2+4(p+q)x-p$$ である。

また、$y$ 軸に関して対称な曲線 $C_3$ は $(x,y)\mapsto (-x,y)$ によって得られるから $$y=F(-x)=p{x}^4-5(p-q)x^3+q{x}^2-4(p+q)x+p$$ である。

(2) $C_1$ と $C_2$ の共有点では $F(x)=-F(-x)$ である。よって $$F(x)+F(-x)=2p{x}^4+2q{x}^2+2p=0$$ すなわち $p{x}^4+q{x}^2+p=0$ を得る。

ここで $u=x^2$ とおくと、$u\geqq 0$ であり $p{u}^2+qu+p=0$ となる。もし $p=0$ なら、$q\mathrm{\ne }0$ のとき $x=0$ の1点だけ、$q=0$ のときは共有点が無数にあるので、条件をみたさない。したがって $p\mathrm{\ne }0$ である。

この2次方程式の2つの解の積は $1$ である。相異なる正の解が2つあれば $$x=\pm \sqrt{u}$$ がそれぞれ出て共有点は4点になる。一方、負の解は実数 $x$ を与えない。よって共有点がちょうど2点になるには、正の重解を1つもつしかない。解の積が $1$ であるから、その重解は $u=1$ である。

したがって $p{u}^2+qu+p=p(u-1{)}^2$ でなければならないので $p\mathrm{\ne }0,q=-2p$ である。このとき $u=1$、すなわち $x=\pm 1$ が共有点の $x$ 座標である。

(3)

以下、$q=-2p$ とする。まず $F(x)+F(-x)=2p(x^2-1{)}^2$ であるから、$C_1$ と $C_2$ の上下の差の絶対値は $\mathrm{\mid }2p\mathrm{\mid }(x^2-1{)}^2$ である。交点は $x=-1,1$ なので$$S_1=\mathrm{\mid }2p\mathrm{\mid }{\int }_{-1}^1(x^2-1{)}^{2}dx$$である。ここで$${\int }_{-1}^1(x^2-1{)}^{2}dx=2{\int }_0^1(x^4-2x^2+1)dx=2({\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}+1)={\displaystyle \frac{16}{15}}$$より $$S_1={\displaystyle \frac{32\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }}{15}}$$ である。

次に $$F(x)-F(-x)=2p(15x^3-4x)=2px(15x^2-4)$$ である。交点の $x$ 座標は $$x=-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{15}}},0,{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{15}}}$$ であり、囲まれる2つの部分は原点に関して対称である。したがって$$S_2=2\mathrm{\mid }2p\mathrm{\mid }{\int }_0^{2\mathrm{/}\sqrt{15}}x(4-15x^2)dx$$となる。実際、$$0<x<2\mathrm{/}\sqrt{15}$$ では $x(15x^2-4)$ の符号が一定であるから、絶対値を上の形に直せる。

計算すると$${\int }_0^{2\mathrm{/}\sqrt{15}}x(4-15x^2)dx={[2x^2-{\displaystyle \frac{15}{4}}{x}^4]}_0^{2\mathrm{/}\sqrt{15}}={\displaystyle \frac{4}{15}}$$である。よって $$S_2=4\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }\cdot \frac{4}{15}={\displaystyle \frac{16\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }}{15}}$$ となる。

以上より $S_1:S_2=2:1$ である。

$C_1$ の式を $F(x)$ とし、原点対称・$y$ 軸対称を
$-F(-x)$、$F(-x)$ と表す。共有点は偶関数部分、囲まれる面積は
偶関数部分と奇関数部分の積分へ分離して処理する。

$C_1:y=F(x)$ とおく。

(1)
原点対称では $(x,y)\mapsto (-x,-y)$ だから$$C_2:y=-F(-x),$$$y$ 軸対称では $(x,y)\mapsto (-x,y)$ だから$$C_3:y=F(-x)\mathrm{.}$$(2)
$C_1,C_2$ の共有点は $F(x)+F(-x)=0$ を満たす。$$F(x)+F(-x)=2(p{x}^4+q{x}^2+p)\mathrm{.}$$$u=x^2\geqq 0$ とおくと$$p{u}^2+qu+p=0.$$相異なる共有点が2点だけであるためには、正の $u$ が重解でなければならない。
よって $p\mathrm{\ne }0$、判別式 $q^2-4p^2=0$、重解 $-q\mathrm{/}(2p)>0$ から$$q=-2p,u=1.$$共有点の $x$ 座標は $\pm 1$ である。

(3)
$q=-2p$ のとき$$F(x)+F(-x)=2p(x^2-1{)}^2,$$したがって$$S_1=2\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }{\int }_{-1}^1(x^2-1{)}^{2}dx={\displaystyle \frac{32\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }}{15}}\mathrm{.}$$また$$F(x)-F(-x)=2px(15x^2-4)$$であり、2領域は対称だから$$S_2=4\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }{\int }_0^{2\mathrm{/}\sqrt{15}}x(4-15x^2)dx={\displaystyle \frac{16\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }}{15}}\mathrm{.}$$よって$$S_1:S_2=2:1.$$