九州大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $C:y=x^2-1$ の $x=a_1$ における接線の傾きは $2a_1$ である。したがって接線は $$y=2a_1(x-a_1)+a_1^2-1=2a_{1}x-a_1^2-1$$ である。これと $x$ 軸との交点では $y=0$ だから $0=2a_{1}x-a_1^2-1$ より $$a_2={\displaystyle \frac{a_1^2+1}{2a_1}}$$ である。

(2)

同じ計算を一般の $a_n$ に対して行うと $$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n^2+1}{2a_n}}$$ である。ここで $a_n>1$ と仮定すると $$a_{n+1}-1={\displaystyle \frac{a_n^2+1-2a_n}{2a_n}}={\displaystyle \frac{(a_n-1{)}^2}{2a_n}}>0$$ である。初めに $a_1>1$ が与えられているので，数学的帰納法によりすべての自然数 $n$ について $a_n>1$ が成り立つ。

(3) $b_n=(a_n-1)\mathrm{/}2$ だから $a_n=1+2b_n$ であり，(2)の変形から $$b_{n+1}={\displaystyle \frac{a_{n+1}-1}{2}}={\displaystyle \frac{(a_n-1{)}^2}{4a_n}}={\displaystyle \frac{b_n^2}{a_n}}$$ である。(2)より $a_n>1$，また $b_n>0$ なので $$b_{n+1}={\displaystyle \frac{b_n^2}{a_n}}<b_n^2$$ となる。

(4) $a_1=2$ のとき $$b_1={\displaystyle \frac{a_1-1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。(3)を繰り返すと，$n\geqq 2$ について $$b_n<{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{2^{n-1}}$$ となる。たとえば $n=7$ とすると $$b_7<{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{64}={10}^{-64{\log }_{10}2}$$ である。${\log }_{10}2=0.301$ としてよいから $$64{\log }_{10}2=64\cdot 0.301=19.264>12$$ であり，$b_7<{10}^{-12}$ が従う。したがって条件を満たす $n$ の値の1つは $7$ である。

図は $a_n=2$ の例。接線の $x$ 軸切片が次の項 $a_{n+1}$。

接線から得る漸化式は主解法と同じだが，比 $r_n=(a_n-1)\mathrm{/}(a_n+1)$ を導入する。この比は厳密に $r_{n+1}=r_n^2$ を満たすため，収束の速さを不等式ではなく閉じた形で追跡できる。

(1) $x=a_1$ における接線は$$y=2a_{1}x-a_1^2-1$$である。$y=0$ とすると$$a_2={\displaystyle \frac{a_1^2+1}{2a_1}}$$を得る。

(2) 一般に$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n^2+1}{2a_n}}$$である。$a_n>1$ なら$$a_{n+1}-1={\displaystyle \frac{(a_n-1{)}^2}{2a_n}}>0$$なので，$a_1>1$ と数学的帰納法から全ての $n$ で $a_n>1$ となる。

(3) $b_n=(a_n-1)\mathrm{/}2$ とすると$$b_{n+1}={\displaystyle \frac{a_{n+1}-1}{2}}={\displaystyle \frac{(a_n-1{)}^2}{4a_n}}={\displaystyle \frac{b_n^2}{a_n}}<b_n^2$$である。

(4) ここで$$r_n={\displaystyle \frac{a_n-1}{a_n+1}}$$とおく。(2)の漸化式から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle r_{n+1}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}+1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(a_n-1{)}^2}{(a_n+1{)}^2}}=r_n^2}\end{array}$$である。$a_1=2$ のとき $r_1=1\mathrm{/}3$ なので$$r_n=3^{-2^{n-1}}\mathrm{.}$$また $a_n=(1+r_n)\mathrm{/}(1-r_n)$ より$$b_n={\displaystyle \frac{a_n-1}{2}}={\displaystyle \frac{r_n}{1-r_n}}\mathrm{.}$$$n=6$ では $r_6=3^{-32}$ であり，$3^{32}-1>{10}^{12}$ だから$$b_6={\displaystyle \frac{1}{3^{32}-1}}<{10}^{-12}\mathrm{.}$$したがって，条件を満たす値の一つは $n=6$ である。